Considere uma barra de comprimento igual a 10. A seguinte equação diferencial representa a propagação de calor nessa barra:
36 ux x=ut
A barra possui, inicialmente, a temperatura em seus pontos dada por u(x, 0)=x, estando com suas extremidades isoladas, sendo assim mantida até atingir o equilíbrio térmico. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse equilíbrio é atingido.

Passo 1

Temos a equação de calor unidimensional 36 uxx = ut em uma barra de comprimento L = 10. As extremidades são isoladas, logo partial u/partial x = 0 em x = 0 e x = 10. A condição inicial é u(x,0) = x. Precisamos achar a distribuição de temperatura no equilíbrio, ou seja, quando t to infty.

Passo 2

Em equilíbrio térmico, a distribuição não varia no tempo, portanto ut = 0. Substituindo na equação de calor, temos
36 uxx = 0
ou seja
uxx = 0.
A solução geral de uxx = 0 é uma função linear u(x) = A x + B. Como as extremidades são isoladas, aplicamos condição de Neumann ux(0) = 0 e ux(10) = 0. Derivando, ux(x) = A é constante, e para zerar nos dois pontos precisamos de A = 0. Logo u(x) = B é constante.

Passo 3

Para achar B, usamos conservação de energia: em uma barra isolada não há troca de calor com o exterior, então a média da temperatura permanece constante. Essa média é
baru = 1L integral0^L u(x,0) , dx = 110 integral0^10 x , dx = 110 cdot 10^22 = 5
Portanto B = 5.

Passo 4

Concluímos que, no equilíbrio térmico, a temperatura em toda a barra é
u(x) = 5

Resposta

u(x) = 5

Exercícios relacionados