Considere uma barra de comprimento igual a 10. A seguinte equação diferencial representa a propagação de calor nessa barra:
A barra possui, inicialmente, a temperatura em seus pontos dada por
, estando com suas extremidades isoladas, sendo assim mantida até atingir o equilíbrio térmico. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse equilíbrio é atingido.
Passo 1
Temos a equação de calor unidimensional
em uma barra de comprimento
. As extremidades são isoladas, logo
em
e
. A condição inicial é
. Precisamos achar a distribuição de temperatura no equilíbrio, ou seja, quando
.
Passo 2
Em equilíbrio térmico, a distribuição não varia no tempo, portanto
. Substituindo na equação de calor, temos
ou seja
A solução geral de
Passo 3
Para achar
, usamos conservação de energia: em uma barra isolada não há troca de calor com o exterior, então a média da temperatura permanece constante. Essa média é
Portanto
.
Passo 4
Concluímos que, no equilíbrio térmico, a temperatura em toda a barra é