Considere uma corda de comprimento e com extremidade fixas. A função representa o deslocamento da corda, no ponto , no instante . Suponha que as extremidades da corda estão fixas, que o deslocamento da corda no tempo é dado pela função e a velocidade inicial é nula. Ou seja, satisfaz
Encontre a função u(x, t).
Passo 1
O enunciado descreve a equação da onda num segmento de comprimento L=pi com extremidades fixas, condição inicial de deslocamento u(x,0)=2sin(2x) e velocidade inicial nula ut(x,0)=0. O conteúdo é resolução por separação de variáveis e séries de Fourier em funções senoidais.
Passo 2
Procuramos solução por série de modos normais (seno) do tipo
nu(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r)sin(nx)
Isso já satisfaz utt=uxx e as condições de contorno u(0,t)=u(pi,t)=0.
Passo 3
Impondo a condição inicial de deslocamento u(x,0)=f(x)=2sin(2x), temos
nu(x,0)=sumn=1^inftyAnsin(nx)=2sin(2x)
Para encontrar An, usamos ortogonalidade:
$$