Considere uma corda de comprimento L=pi e com extremidade fixas. A função u(x, t) representa o deslocamento da corda, no ponto x, no instante t. Suponha que as extremidades da corda estão fixas, que o deslocamento da corda no tempo t=0 é dado pela função f(x)=2 sen(2 x) e a velocidade inicial é nula. Ou seja, u(x, t) satisfaz
l ut t=ux x u(0, t)=0, u(pi, t)=0 u(x, 0)=2 sen(2 x) ut(x, 0)=0
Encontre a função u(x, t).

Passo 1

O enunciado descreve a equação da onda num segmento de comprimento L=pi com extremidades fixas, condição inicial de deslocamento u(x,0)=2sin(2x) e velocidade inicial nula ut(x,0)=0. O conteúdo é resolução por separação de variáveis e séries de Fourier em funções senoidais.

Passo 2

Procuramos solução por série de modos normais (seno) do tipo
nu(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r)sin(nx)
Isso já satisfaz utt=uxx e as condições de contorno u(0,t)=u(pi,t)=0.

Passo 3

Impondo a condição inicial de deslocamento u(x,0)=f(x)=2sin(2x), temos
nu(x,0)=sumn=1^inftyAnsin(nx)=2sin(2x)
Para encontrar An, usamos ortogonalidade:
$$
A_n=\frac{2}{\pi}\int_0{\pi}f(x)\sin(nx),dx=\frac{2}{\pi}\int_0{\pi}2\sin(2x)\sin(nx),dx
An=2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx=2piintegral0^pi2sin(2x)sin(nx),dx óéã
A_2=\frac{4}{\pi}\int_0{\pi}\sin2(2x),dx=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=2
$$
Portanto, n=2 e A2=4piintegral0^pisin^2(2x),dx=4picdotpi2=2 .

Passo 4

Como a velocidade inicial é nula, ut(x,0)=0, isso implica
nut(x,0)=sumn=1^inftynBnsin(nx)=0
e pela ortogonalidade vem Bn=0 para todo n.

Passo 5

Reunindo tudo, o único modo presente é n=2 com coeficiente A2=2 e B2=0. Assim ficamos com
u(x,t)=2\cos(2t),\sin(2x)

Resposta

u(x,t)=2\cos(2t)\sin(2x)

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