Suponha que . O raio de convergência da série de potências é 10? Qual é raio de convergência da série de potências ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência com limite . A pergunta quer saber se o raio de convergência da série de potências é 10. Além disso, também queremos descobrir o raio de convergência da série . Para resolver isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. É o valor de tal que a série converge para todo com e diverge quando . Para encontrar , usamos o teste da razão, que diz que:
Passo 3
Dado que lim n infty|an+1| /|an|=1 / 10, podemos reescrever isso como:
limn to infty | anan+1 | = 10
Então, pelo teste da razão, o raio de convergência R da série sumn=0^infty an x^n é 10.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda série: sumn=1^infty n an x^n-1. Podemos reescrever essa série mudando o índice para facilitar:
sumn=1^infty n an x^n-1 = sumk=0^infty (k+1) ak+1 x^k
Aqui, fizemos k = n-1. Agora, temos uma nova série de potências na forma padrão, sumk=0^infty bk x^k, onde bk = (k+1) ak+1.
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência dessa nova série, usamos novamente o teste da razão:
R' = limk to infty | bkbk+1 | = limk to infty | (k+1) ak+1(k+2) ak+2 |
Podemos separar os termos:
R' = limk to infty | k+1k+2 | cdot limk to infty | ak+1ak+2 |
Passo 6
Calculando cada limite separadamente:
limk to infty | k+1k+2 | = limk to infty k+1k+2 = 1
Sabemos que limk to infty | ak+1ak+2 | = limn to infty | anan+1 | = 10
Então, multiplicando os dois limites:
R' = 1 times 10 = 10
Resposta
Sim, o raio de convergência da série sumn=0^infty an x^n é 10, e o raio de convergência da série sumn=1^infty n an x^n-1 também é 10.