Suponha que lim n infty|an+1| /|an|=1 / 10. O raio de convergência da série de potências sumn=0^infty an x^n é 10? Qual é raio de convergência da série de potências sumn=1^infty n an x^n-1 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência com limite lim n infty|an+1| /|an|=1 / 10. A pergunta quer saber se o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty an x^n é 10. Além disso, também queremos descobrir o raio de convergência da série sumn=1^infty n an x^n-1. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. É o valor de R tal que a série converge para todo x com |x| < R e diverge quando |x| > R. Para encontrar R, usamos o teste da razão, que diz que:
R = limn to infty | anan+1 |

Passo 3

Dado que lim n infty|an+1| /|an|=1 / 10, podemos reescrever isso como:
limn to infty | anan+1 | = 10
Então, pelo teste da razão, o raio de convergência R da série sumn=0^infty an x^n é 10.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série: sumn=1^infty n an x^n-1. Podemos reescrever essa série mudando o índice para facilitar:
sumn=1^infty n an x^n-1 = sumk=0^infty (k+1) ak+1 x^k
Aqui, fizemos k = n-1. Agora, temos uma nova série de potências na forma padrão, sumk=0^infty bk x^k, onde bk = (k+1) ak+1.

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência dessa nova série, usamos novamente o teste da razão:
R' = limk to infty | bkbk+1 | = limk to infty | (k+1) ak+1(k+2) ak+2 |
Podemos separar os termos:
R' = limk to infty | k+1k+2 | cdot limk to infty | ak+1ak+2 |

Passo 6

Calculando cada limite separadamente:
  1. limk to infty | k+1k+2 | = limk to infty k+1k+2 = 1
  2. Sabemos que limk to infty | ak+1ak+2 | = limn to infty | anan+1 | = 10
Então, multiplicando os dois limites:
R' = 1 times 10 = 10

Resposta

Sim, o raio de convergência da série sumn=0^infty an x^n é 10, e o raio de convergência da série sumn=1^infty n an x^n-1 também é 10.

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