Considere uma barra de comprimento igual a 2. A seguinte equação diferencial parcial representa a propagação de calor nessa barra:
2 ux x=ut
Supõe-se que a barra esteja inicialmente com temperatura igual a 0 em toda sua extensão, e que no instante t=0 as extremidades da barra sejam subitamente levadas à temperatura de 10 , sendo mantidas nessa temperatura desse momento em diante. Calcule a função que descreve a distribuição de temperaturas nas barra em função de x quando t=5.

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional
ut=2,uxx,
em 0<x<2, t>0, com condições de contorno
u(0,t)=10, u(2,t)=10(t>0)
e condição inicial
u(x,0)=0(0<= x<=2)
Vamos usar separação de variáveis e séries de senos para resolver.

Passo 2

Definimos
v(x,t)=u(x,t)-10,
de modo que as condições de contorno tornam-se homogêneas:
v(0,t)=0, v(2,t)=0,
e a equação fica
vt=2,vxx,
com condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-10=-10

Passo 3

Pela separação de variáveis assumimos
v(x,t)=X(x),T(t)
Isso leva aos ODEs
X''+lambda X=0, T'+2lambda T=0,
com X(0)=X(2)=0. As autofunções são
Xn(x)=sinl(npi x/2r), lambdan=l(tfracnpi2r)^2, n=1,2,dots
e
Tn(t)=expl(-2lambdantr) =exp!l(-2,(npi/2)^2tr) =exp!l(-tfracn^2pi^22,tr)

Passo 4

A solução geral para v é
v(x,t)=sumn=1^inftyBn,sin!l(tfracnpi x2r), exp!l(-tfracn^2pi^22,tr)
Os coeficientes Bn vêm da expansão de v(x,0)=-10 em série de senos:
-10=sumn=1^inftyBn,sin!l(tfracnpi x2r)

Passo 5

Usando a fórmula
Bn=22integral0^2(-10),sin!l(tfracnpi x2r),dx =-10integral0^2sin!l(tfracnpi x2r),dx,
calculamos
integral0^2sin!l(tfracnpi x2r),dx =2npil(1-(-1)^nr)
Logo
Bn=-10cdot2npil(1-(-1)^nr) =-20npil(1-(-1)^nr)
Observa-se que 1-(-1)^n=0 para n par e 2 para n ímpar. Assim, para n=2m-1,
B2m-1=-20cdot2(2m-1)pi =-40(2m-1)pi,
e Bn=0 se n for par.

Passo 6

Voltando a u, temos
u(x,t)=10+v(x,t) =10-summ=1^infty40(2m-1)pi, sin!l(tfrac(2m-1)pi x2r), exp!l(-tfrac(2m-1)^2pi^22,tr)
Para t=5, a distribuição de temperatura é
u(x,5) =10-40pisumm=1^infty12m-1, sin!l(tfrac(2m-1)pi x2r), exp!l(-tfrac(2m-1)^2pi^22cdot5r)

Resposta

boxed u(x,5) =10-40pisumm=1^infty12m-1, sin!l(tfrac(2m-1)pi x2r), exp!l(-tfrac5,(2m-1)^2pi^22r)

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