Considere uma barra de comprimento igual a 2. A seguinte equação diferencial parcial representa a propagação de calor nessa barra:
Supõe-se que a barra esteja inicialmente com temperatura igual a 0 em toda sua extensão, e que no instante
as extremidades da barra sejam subitamente levadas à temperatura de 10 , sendo mantidas nessa temperatura desse momento em diante. Calcule a função que descreve a distribuição de temperaturas nas barra em função de
quando
.
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor unidimensional
em
,
, com condições de contorno
e condição inicial
Vamos usar separação de variáveis e séries de senos para resolver.
Passo 2
Definimos
de modo que as condições de contorno tornam-se homogêneas:
e a equação fica
com condição inicial
Passo 3
Pela separação de variáveis assumimos
Isso leva aos ODEs
com
. As autofunções são
e
Passo 4
A solução geral para
é
Os coeficientes
vêm da expansão de
em série de senos:
Passo 5
Usando a fórmula
calculamos
Logo
Observa-se que
para
par e
para
ímpar. Assim, para
,
e
se
for par.
Passo 6
Voltando a
, temos
Para
, a distribuição de temperatura é