8.5O A base de um sólido é a região do plano
limitada pelo eixo
e pela curva
. Toda seção plana do sólido perpendicular ao eixo
é um triângulo equilátero com um dos lados sobre a base do sólido. Calcule o volume do sólido.
Utilize essa fórmula nos exercícios 8.5 M a 8.5 P .
Passo 1
O enunciado diz que a base do sólido é a região do plano
limitada por
e por
para
. Cada fatia do sólido obtida por plano perpendicular ao eixo
é um triângulo equilátero com um dos lados na base, ou seja, com lado igual à “altura” da região naquele
. Para encontrar o volume, vamos integrar a área de cada seção transversal ao longo de
, usando a fórmula
Passo 2
Em uma posição fixa
, o lado do triângulo equilátero vale
A área
de um triângulo equilátero de lado
é
Logo
Passo 3
O volume do sólido é
Para integrar
, usamos a identidade
então
Passo 4
Agora avaliamos de
a
:
Portanto