8.5O A base de um sólido é a região do plano x y limitada pelo eixo x e pela curva y=sen x, 0 <= x <= pi / 2. Toda seção plana do sólido perpendicular ao eixo x é um triângulo equilátero com um dos lados sobre a base do sólido. Calcule o volume do sólido.
Utilize essa fórmula nos exercícios 8.5 M a 8.5 P .

Passo 1

O enunciado diz que a base do sólido é a região do plano xy limitada por y=0 e por y=sin x para 0<= x<= pi/2. Cada fatia do sólido obtida por plano perpendicular ao eixo x é um triângulo equilátero com um dos lados na base, ou seja, com lado igual à “altura” da região naquele x. Para encontrar o volume, vamos integrar a área de cada seção transversal ao longo de x, usando a fórmula
V = integrala^b A(x),dx

Passo 2

Em uma posição fixa x, o lado do triângulo equilátero vale
s(x)=sin x
A área A(x) de um triângulo equilátero de lado s é
A = raiz34,s^2
Logo
A(x)=raiz34,l(sin xr)^2

Passo 3

O volume do sólido é
V = integral0^pi/2 A(x),dx = raiz34,integral0^pi/2 sin^2 x,dx
Para integrar sin^2 x, usamos a identidade
sin^2 x = 1-cos(2x)2,
então
integral sin^2 x,dx = integral 12,dx - integral cos(2x)2,dx = x2 - sin(2x)4 + C

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a pi/2:
integral0^pi/2 sin^2 x,dx = l[x2 - sin(2x)4r]0^pi/2 = l(pi/22-sinpi4r) - l(,0 - sin04r) = pi4
Portanto
V = raiz34,cdotpi4 = raiz3,pi16

Resposta

raiz3,pi16

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