Considere uma barra de comprimento igual a 2. A seguinte equação diferencial parcial representa a propagação de calor nessa barra:
4 ux x=ut
a) Essa barra encontra-se com as extremidades (pontos x=0 e x=2 ) termicamente isoladas, e possui, inicialmente, a temperatura em seus pontos dada por
u(x, 0)=5 x^2
A barra é deixada assim por várias horas até entrar em equilíbrio térmico. Determine a equação que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando o equilíbrio é atingido;
b) Após entrar em equilíbrio térmico, a barra subitamente tem os isolamentos térmicos das extremidades retirados, sendo as temperaturas nas extremidades fixadas em u(0, t)=20 e u(2, t)=-20 a partir desse instante (adote a convenção de que t=0 no exato instante em que o isolamento térmico é retirado, e as temperaturas das extremidades são fixadas nesses valores). Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra, em função de x e t, após a barra ter as temperaturas de suas extremidades fixadas.

Passo 1

O enunciado trata da equação de calor
4,uxx=ut
numa barra de comprimento 2.
Parte (a): extremos isolados (Neumann homogênea) e condição inicial u(x,0)=5x^2. Queremos o estado de equilíbrio quando ttoinfty.
Parte (b): a partir desse equilíbrio removem-se os isolamentos e passam a valer condições de Dirichlet u(0,t)=20, u(2,t)=-20, com t=0 justamente no instante da mudança. Queremos então a solução geral u(x,t) para t>0.

Passo 2

No equilíbrio térmico temos ut=0, logo da PDE vem
uxx=0
A solução geral é
u(x)=A,x+B
Pelas condições de isolamento vale ux(0)=0 e ux(2)=0, o que obriga A=0. Assim o equilíbrio é uma constante
ueq(x)=B

Passo 3

Para determinar B usamos a conservação de energia (média preservada sob Neumann):
B=12integral0^25x^2,dx=52cdot2^33=406=203
Resposta da parte (a):
u(x)=203

Passo 4

Agora parte (b): introduzem-se condições de Dirichlet
u(0,t)=20, u(2,t)=-20,
com condição inicial u(x,0)=20/3.
Primeiro achamos o perfil de estado estacionário S(x) que satisfaz
S''(x)=0, S(0)=20, S(2)=-20
Logo
S(x)=C1x+C2, C2=20,;2C1+20=-20;Rightarrow;C1=-20,
ou seja
S(x)=-20,x+20

Passo 5

Definimos
v(x,t)=u(x,t)-S(x),
que satisfaz a PDE homogênea
4,vxx=vt,
e as condições de contorno homogêneas
v(0,t)=0, v(2,t)=0,
além de condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-S(x)=203-l(-20x+20r) =20x-403

Passo 6

Expandimos v(x,0) em série de senos no intervalo [0,2]:
v(x,0)=sumn=1^inftybnsin!l(npi x2r),
com
bn=22integral0^2l(20x-tfrac403r)sin!l(npi x2r),dx =integral0^2l(20x-tfrac403r)sin!l(tfracnpi x2r),dx
O cálculo esse integral leva ao valor fechado
bn=-803,npil(5(-1)^n+1r),
ou de forma particionar
b2m=-80mpi, b2m-1=3203,(2m-1)pi

Passo 7

Como os autovalores da separação valem , a solução de é
Portanto a solução de interesse é

Resposta

a) u(x)=tfrac203.
b)
u(x,t) =-20x+20 +sumn=1^infty l[-tfrac803,npil(5(-1)^n+1r)r] e^-n^2pi^2 t, sin!l(tfracnpi x2r)

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