Considere uma barra de comprimento igual a 2. A seguinte equação diferencial parcial representa a propagação de calor nessa barra:
a) Essa barra encontra-se com as extremidades (pontos
e
) termicamente isoladas, e possui, inicialmente, a temperatura em seus pontos dada por
A barra é deixada assim por várias horas até entrar em equilíbrio térmico. Determine a equação que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando o equilíbrio é atingido;
b) Após entrar em equilíbrio térmico, a barra subitamente tem os isolamentos térmicos das extremidades retirados, sendo as temperaturas nas extremidades fixadas em
e
a partir desse instante (adote a convenção de que
no exato instante em que o isolamento térmico é retirado, e as temperaturas das extremidades são fixadas nesses valores). Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra, em função de
e
, após a barra ter as temperaturas de suas extremidades fixadas.
b) Após entrar em equilíbrio térmico, a barra subitamente tem os isolamentos térmicos das extremidades retirados, sendo as temperaturas nas extremidades fixadas em
Passo 1
O enunciado trata da equação de calor
numa barra de comprimento
.
Parte (a): extremos isolados (Neumann homogênea) e condição inicial . Queremos o estado de equilíbrio quando
.
Parte (b): a partir desse equilíbrio removem-se os isolamentos e passam a valer condições de Dirichlet ,
, com
justamente no instante da mudança. Queremos então a solução geral
para
.
Parte (a): extremos isolados (Neumann homogênea) e condição inicial
Parte (b): a partir desse equilíbrio removem-se os isolamentos e passam a valer condições de Dirichlet
Passo 2
No equilíbrio térmico temos
, logo da PDE vem
A solução geral é
Pelas condições de isolamento vale
e
, o que obriga
. Assim o equilíbrio é uma constante
Passo 3
Para determinar
usamos a conservação de energia (média preservada sob Neumann):
Resposta da parte (a):
Passo 4
Agora parte (b): introduzem-se condições de Dirichlet
com condição inicial
.
Primeiro achamos o perfil de estado estacionário que satisfaz
Primeiro achamos o perfil de estado estacionário
Logo
ou seja
Passo 5
Definimos
que satisfaz a PDE homogênea
e as condições de contorno homogêneas
além de condição inicial
Passo 6
Expandimos
em série de senos no intervalo
:
com
O cálculo esse integral leva ao valor fechado
ou de forma particionar
Passo 7
Como os autovalores da separação valem
, a solução de
é
Portanto a solução de interesse é
Resposta
a)
.
b)
b)