Considere uma barra de comprimento 5 m com densidade linear
, onde
é medido a partir da extremidade esquerda. Qual é a massa da barra ente os pontos
e
?
Passo 1
O enunciado dá a densidade linear da barra e pede a massa entre dois pontos. Informações fornecidas:
- A barra tem comprimento
. - A densidade linear é
, onde é a distância medida a partir da extremidade esquerda (em metros). - Queremos a massa da barra entre
e .
Passo 2
Entendendo o que é a densidade linear e como obter a massa: a densidade linear
dá a massa por unidade de comprimento no ponto
. Se pegarmos um pedaço muito pequeno da barra de comprimento
em torno de
, a massa desse pedaço é aproximadamente
Para obter a massa total entre
e
, somamos (integrando) esses pedacinhos ao longo do intervalo. Então a massa
é dada por uma integral definida.
Passo 3
Escrevendo a integral que calcula a massa entre
e
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: massa procurada (em ). -
indica que somamos os elementos desde até . -
é a função densidade que multiplicamos por .
Passo 4
Vamos calcular a integral. Usamos fórmulas básicas de integração:
- A antiderivada de uma constante
é . - A antiderivada de
é .
Aplicando isso a
, obtemos a antiderivada
Expliquei aqui cada passo: para o termo
veio
; para o termo
usamos
, então
.
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
.
Calculemos :
Calculemos
Calculemos
:
Subtraindo:
A unidade é
, porque integramos densidade em
ao longo de metros.
Passo 6
Verificação rápida de razoabilidade: a densidade varia de
até
. Se fosse constante em torno de
sobre comprimento
teríamos massa aproximadamente
, que coincide com nosso resultado — sinal de que o cálculo está consistente. Força tarefa cumprida — deu certo!