Considere uma barra de comprimento 5 m com densidade linear \rho(x)=2+0,5 x \mathrm{~kg} / \mathrm{m}, onde x é medido a partir da extremidade esquerda. Qual é a massa da barra ente os pontos x=1 \mathrm{~m} e x=4 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá a densidade linear da barra e pede a massa entre dois pontos. Informações fornecidas:
  • A barra tem comprimento 5\\ \mathrm{m}.
  • A densidade linear é \rho(x)=2+0,5\,x\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}, onde x é a distância medida a partir da extremidade esquerda (em metros).
  • Queremos a massa da barra entre x=1\\ \mathrm{m} e x=4\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo o que é a densidade linear e como obter a massa: a densidade linear \rho(x) dá a massa por unidade de comprimento no ponto x. Se pegarmos um pedaço muito pequeno da barra de comprimento \mathrm{d}x em torno de x, a massa desse pedaço é aproximadamente
\mathrm{d}m=\rho(x)\,\mathrm{d}x.
Para obter a massa total entre x=1 e x=4, somamos (integrando) esses pedacinhos ao longo do intervalo. Então a massa m é dada por uma integral definida.

Passo 3

Escrevendo a integral que calcula a massa entre x=1 e x=4:
m=\int_{1}^{4}\rho(x)\,\mathrm{d}x=\int_{1}^{4}\bigl(2+0,5x\bigr)\,\mathrm{d}x.
Aqui cada símbolo significa:
  • m: massa procurada (em \mathrm{kg}).
  • \int_{1}^{4} indica que somamos os elementos \mathrm{d}m desde x=1 até x=4.
  • \rho(x)=2+0,5x é a função densidade que multiplicamos por \mathrm{d}x.

Passo 4

Vamos calcular a integral. Usamos fórmulas básicas de integração:
  • A antiderivada de uma constante a é a x.
  • A antiderivada de x é \tfrac{x^{2}}{2}.
Aplicando isso a \int(2+0,5x)\,\mathrm{d}x, obtemos a antiderivada
F(x)=2x+0,5\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x+0,25x^{2}.
Expliquei aqui cada passo: para o termo 2 veio 2x; para o termo 0,5x usamos \int x\,\mathrm{d}x=\tfrac{x^{2}}{2}, então 0,5\cdot\tfrac{x^{2}}{2}=0,25x^{2}.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: m=F(4)-F(1).
Calculemos F(4):
F(4)=2\cdot 4 + 0,25\cdot 4^{2}=8 + 0,25\cdot 16=8 + 4=12.
Calculemos F(1):
F(1)=2\cdot 1 + 0,25\cdot 1^{2}=2 + 0,25=2,25.
Subtraindo:
m=F(4)-F(1)=12-2,25=9,75.
A unidade é \mathrm{kg}, porque integramos densidade em \mathrm{kg}/\mathrm{m} ao longo de metros.

Passo 6

Verificação rápida de razoabilidade: a densidade varia de \rho(1)=2+0,5\cdot 1=2,5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m} até \rho(4)=2+0,5\cdot 4=4\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}. Se fosse constante em torno de \sim 3,25\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m} sobre comprimento 3\\ \mathrm{m} teríamos massa aproximadamente 3,25\cdot 3=9,75\\ \mathrm{kg}, que coincide com nosso resultado — sinal de que o cálculo está consistente. Força tarefa cumprida — deu certo!

Resposta

\,9,75\\ \mathrm{kg}

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