Sabendo que \int_{0}^{\pi} x^{2} \cos (x) d x=-2 \pi, determine \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cos (x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx e fornece a informação
\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx = -2\pi.
Listando o que temos:
  • Queremos o valor de \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx.
  • Foi dado que \displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx = -2\pi.

Passo 2

Vamos recordar o que significa função par e função ímpar, porque isso vai simplificar muito o cálculo sem precisar integrar de novo.
Uma função f é chamada de par se, para todo x,
f(-x)=f(x).
Uma função f é chamada de ímpar se, para todo x,
f(-x)=-f(x).
Exemplos simples:
  • A função x^{2} é par porque (-x)^{2}=x^{2}.
  • A função \cos(x) é par porque \cos(-x)=\cos(x).
Aqui, x^{2} é par e \cos(x) é par.

Passo 3

Mostrando que o integrando é uma função par. Se g(x)=x^{2}\cos(x), então
g(-x)=(-x)^{2}\cos(-x)=x^{2}\cos(x)=g(x),
logo g é par. É importante ver que o produto de duas funções pares é par (e o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar, etc.), mas aqui já checamos diretamente.

Passo 4

Propriedade útil para integrais: se f é par e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Vou mostrar rapidamente por que isso vale. Escrevemos a integral como soma de dois trechos:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Na primeira integral fazemos a substituição x=-t. Quando x=-a temos t=a e quando x=0 temos t=0; além disso dx=-dt. Assim
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = \int_{0}^{a} f(-t)\,dt.
Se f é par, f(-t)=f(t), então
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(t)\,dt.
Somando com \int_{0}^{a} f(x)\,dx obtemos a fórmula desejada.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso: g(x)=x^{2}\cos(x) é par e integrável em [-\,\pi,\pi], portanto
\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx.
Como o enunciado deu \displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx = -2\pi, temos
\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx = 2\cdot(-2\pi) = -4\pi.

Resposta

-4\pi

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