Sabendo que
, determine
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e fornece a informação
Listando o que temos:
- Queremos o valor de
. - Foi dado que
.
Passo 2
Vamos recordar o que significa função par e função ímpar, porque isso vai simplificar muito o cálculo sem precisar integrar de novo.
Uma função
é chamada de par se, para todo
,
Uma função
é chamada de ímpar se, para todo
,
Exemplos simples:
- A função
é par porque . - A função
é par porque .
Aqui,
é par e
é par.
Passo 3
Mostrando que o integrando é uma função par. Se
, então
logo
é par. É importante ver que o produto de duas funções pares é par (e o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar, etc.), mas aqui já checamos diretamente.
Passo 4
Propriedade útil para integrais: se
é par e integrável em
, então
Vou mostrar rapidamente por que isso vale. Escrevemos a integral como soma de dois trechos:
Na primeira integral fazemos a substituição
. Quando
temos
e quando
temos
; além disso
. Assim
Se
é par,
, então
Somando com
obtemos a fórmula desejada.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso:
é par e integrável em
, portanto
Como o enunciado deu
, temos