Um tanque contém 100 litros de água no instante t=0. A água entra no tanque com uma taxa de entrada R_{\text {in }}(t)= 15+2 t litros/hora e sai com uma taxa de saída R_{\text {out }}(t)=12+4 t litros/hora, onde t é o tempo em horas.
(a) Calcule a variação total do volume de água no tanque entre t=0 e t=4 horas.
(b) Determine o volume total de água que entrou no tanque nesse período.
(c) Determine o volume total de água que saiu do tanque nesse período.
(d) Determine o volume no tanque quando t=4.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo.
Informações dadas:
\text{Volume inicial no tanque em }t=0:\;100\\ \text{litros}.
R_{\text{in}}(t)=15+2t\quad(\text{litros por hora}),\quad t\\ \text{em horas}.
R_{\text{out}}(t)=12+4t\quad(\text{litros por hora}),\quad t\\ \text{em horas}.
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular a variação total do volume de água no tanque entre t=0 e t=4 horas.
(b) Determinar o volume total de água que entrou no tanque no intervalo 0\le t\le4.
(c) Determinar o volume total de água que saiu do tanque no intervalo 0\le t\le4.
(d) Determinar o volume no tanque quando t=4.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): taxas como R_{\text{in}}(t) e R_{\text{out}}(t) representam litros por hora instantâneos. Para saber quantos litros foram acumulados ao longo de um intervalo de tempo, integramos a taxa ao longo desse intervalo. Ou seja, a integral definida transforma uma taxa (litros/hora) em um volume (litros).
Fórmula geral usada:
\text{variação de volume } \Delta V=\int_{t_1}^{t_2}\big(R_{\text{in}}(t)-R_{\text{out}}(t)\big)\,dt.çã
Também usaremos as integrais individuais:
\text{total entrado}=\int_{t_1}^{t_2}R_{\text{in}}(t)\,dt,\qquad \text{total saído}=\int_{t_1}^{t_2}R_{\text{out}}(t)\,dt.í
Regra de integração para funções lineares (fórmula útil e simples): se f(t)=a + b t, então
\int f(t)\,dt = \int (a+bt)\,dt = at + \frac{b}{2}t^2 + C,
onde C é a constante de integração (não necessária em integrais definidas).

Passo 3

Calculemos a taxa líquida (entrada menos saída) que determina a variação instantânea do volume:
R_{\text{net}}(t)=R_{\text{in}}(t)-R_{\text{out}}(t)=(15+2t)-(12+4t).
Agora simplificamos:
R_{\text{net}}(t)=15-12+2t-4t=3-2t.

Passo 4

Montamos a integral para a variação de volume entre t=0 e t=4:
\Delta V=\int_{0}^{4}(3-2t)\,dt.
Aplicando a regra de integração para 3-2t (onde a=3 e b=-2):
\int (3-2t)\,dt = 3t - t^2 + C.
Agora avaliamos a integral definida:
\Delta V=\big[3t - t^2\big]_{0}^{4}.

Passo 5

Avaliação numérica da variação:
\Delta V=(3\cdot 4 - 4^2)-(3\cdot 0 - 0^2)= (12-16)-0 = -4.
Interpretação: \Delta V=-4 litros significa que o volume diminuiu em 4 litros no período de 4 horas (ou seja, houve mais saída que entrada no somatório).

Passo 6

Agora calculamos o volume total que entrou no tanque no intervalo, usando a integral de R_{\text{in}}(t):
\text{Entrou}=\int_{0}^{4}(15+2t)\,dt.
Aplicando a regra de integração ( a=15,\\ b=2):
\int (15+2t)\,dt = 15t + t^2 + C.
Avaliação:
\text{Entrou}=\big[15t + t^2\big]_{0}^{4}=15\cdot 4 + 4^2 - 0 = 60 + 16 = 76.
Portanto, entraram 76 litros no período.

Passo 7

Calculamos o volume total que saiu do tanque no intervalo, integrando R_{\text{out}}(t):
\text{Saiu}=\int_{0}^{4}(12+4t)\,dt.
Aplicando a regra ( a=12,\\ b=4):
\int (12+4t)\,dt = 12t + 2t^2 + C.
Avaliação:
\text{Saiu}=\big[12t + 2t^2\big]_{0}^{4}=12\cdot 4 + 2\cdot 4^2 - 0 = 48 + 32 = 80.
Portanto, saíram 80 litros no período.

Passo 8

Determinamos o volume no tanque em t=4. Há duas maneiras consistentes de fazer isso; vamos usar a mais direta: volume inicial mais variação.
V(4)=V(0)+\Delta V = 100 + (-4) = 96.
Checagem rápida (para sua confiança): 100 + \text{Entrou} - \text{Saiu} = 100 + 76 - 80 = 96, mesmo resultado.

Passo 9

Resumo e interpretação final rápida: o tanque perdeu líquido no conjunto das 4 horas (saíram mais litros do que entraram), mas a perda é pequena ( 4 litros) em relação ao volume inicial. Isso é consistente com os números: entrou 76 L e saiu 80 L.

Resposta

(a) \Delta V = -4\\ \text{litros}
(b) \text{Entrou} = 76\\ \text{litros}
(c) \text{Saiu} = 80\\ \text{litros}
(d) V(4) = 96\\ \text{litros}

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