Um tanque contém 100 litros de água no instante
. A água entra no tanque com uma taxa de entrada
litros/hora e sai com uma taxa de saída
litros/hora, onde
é o tempo em horas.
(a) Calcule a variação total do volume de água no tanque entre
e
horas.
(b) Determine o volume total de água que entrou no tanque nesse período.
(c) Determine o volume total de água que saiu do tanque nesse período.
(d) Determine o volume no tanque quando
.
(a) Calcule a variação total do volume de água no tanque entre
(b) Determine o volume total de água que entrou no tanque nesse período.
(c) Determine o volume total de água que saiu do tanque nesse período.
(d) Determine o volume no tanque quando
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo.
Informações dadas:
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular a variação total do volume de água no tanque entre e
horas.
(b) Determinar o volume total de água que entrou no tanque no intervalo .
(c) Determinar o volume total de água que saiu do tanque no intervalo .
(d) Determinar o volume no tanque quando .
(a) Calcular a variação total do volume de água no tanque entre
(b) Determinar o volume total de água que entrou no tanque no intervalo
(c) Determinar o volume total de água que saiu do tanque no intervalo
(d) Determinar o volume no tanque quando
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): taxas como
e
representam litros por hora instantâneos. Para saber quantos litros foram acumulados ao longo de um intervalo de tempo, integramos a taxa ao longo desse intervalo. Ou seja, a integral definida transforma uma taxa (litros/hora) em um volume (litros).
Fórmula geral usada:
Também usaremos as integrais individuais:
Regra de integração para funções lineares (fórmula útil e simples): se
, então
onde
é a constante de integração (não necessária em integrais definidas).
Passo 3
Calculemos a taxa líquida (entrada menos saída) que determina a variação instantânea do volume:
Agora simplificamos:
Passo 4
Montamos a integral para a variação de volume entre
e
:
Aplicando a regra de integração para
(onde
e
):
Agora avaliamos a integral definida:
Passo 5
Avaliação numérica da variação:
Interpretação:
litros significa que o volume diminuiu em
litros no período de 4 horas (ou seja, houve mais saída que entrada no somatório).
Passo 6
Agora calculamos o volume total que entrou no tanque no intervalo, usando a integral de
:
Aplicando a regra de integração (
):
Avaliação:
Portanto, entraram
litros no período.
Passo 7
Calculamos o volume total que saiu do tanque no intervalo, integrando
:
Aplicando a regra (
):
Avaliação:
Portanto, saíram
litros no período.
Passo 8
Determinamos o volume no tanque em
. Há duas maneiras consistentes de fazer isso; vamos usar a mais direta: volume inicial mais variação.
Checagem rápida (para sua confiança):
, mesmo resultado.
Passo 9
Resumo e interpretação final rápida: o tanque perdeu líquido no conjunto das 4 horas (saíram mais litros do que entraram), mas a perda é pequena (
litros) em relação ao volume inicial. Isso é consistente com os números: entrou
L e saiu
L.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)