Em uma certa cidade, a taxa de variação da população (em habitantes por ano), no instante t anos após 2020 , é dada por P^{\prime}(t)=1200 e^{-0.1 t}-800 e^{-0.05 t}.
(a) Calcule a variação total da população entre os anos de 2022 e 2025.
(b) Determine o número total de nascimentos e de mortes nesse período.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação da população (habitantes por ano) no instante t anos após 2020:
P'(t)=1200 e^{-0,1 t}-800 e^{-0,05 t}.
As perguntas são:
  1. Calcular a variação total da população entre 2022 e 2025.
  2. Determinar o número total de nascimentos e o número total de mortes nesse mesmo período.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável t mede anos após 2020, portanto o ano 2022 corresponde a t=2 e 2025 corresponde a t=5.
  • A função P'(t) fornece a taxa líquida de crescimento: parece escrita como diferença entre duas taxas positivas. Podemos interpretar o termo 1200 e^{-0,1 t} como a taxa de nascimentos por ano e o termo 800 e^{-0,05 t} como a taxa de mortes por ano (essa é a forma natural de interpretar quando a taxa é dada como diferença “nascimentos menos mortes”).

Passo 2

Entender o que devemos calcular e como usar cálculo integral:
  • A variação total da população num intervalo de tempo [a,b] é dada pela integral definida de P'(t) nesse intervalo:
\Delta P=\int_{a}^{b} P'(t)\,dt = P(b)-P(a).
  • O número total de nascimentos no intervalo é a integral da taxa de nascimentos B(t) nesse intervalo:
\text{Nascimentos}=\int_{a}^{b} B(t)\,dt.
  • O número total de mortes no intervalo é a integral da taxa de mortes D(t) nesse intervalo:
\text{Mortes}=\int_{a}^{b} D(t)\,dt.
No nosso caso, com a interpretação natural mencionada:
B(t)=1200 e^{-0,1 t},\qquad D(t)=800 e^{-0,05 t},
e queremos integrar entre t=2 e t=5.

Passo 3

Recordando a fórmula básica de integração que vamos usar (aula rápida):
  • Para qualquer constante a\neq 0,
\int e^{a t}\,dt=\frac{1}{a}e^{a t}+C.
  • Se houver uma constante multiplicativa k,
\int k e^{a t}\,dt = k\cdot\frac{1}{a}e^{a t}+C.
Aqui os expoentes são negativos (por exemplo a=-0,1), a fórmula ainda vale com a negativo; só tomamos cuidado com o sinal ao calcular \frac{1}{a}.

Passo 4

Montar a integral para a variação total da população entre 2022 ( t=2) e 2025 ( t=5):
\Delta P=\int_{2}^{5}\!\big(1200 e^{-0,1 t}-800 e^{-0,05 t}\big)\,dt.
Vamos calcular a primitiva (antiderivada) da função integrando termo a termo.

Passo 5

Calcular a primitiva de cada termo (mostrando passo a passo):
  • Para 1200 e^{-0,1 t}:
\int 1200 e^{-0,1 t}\,dt = 1200\cdot\frac{1}{-0,1} e^{-0,1 t} = -12000\,e^{-0,1 t}.
(Explicação: \frac{1}{-0,1}=-10, então 1200\cdot(-10)=-12000.)
  • Para -800 e^{-0,05 t}:
\int (-800) e^{-0,05 t}\,dt = -800\cdot\frac{1}{-0,05} e^{-0,05 t} = 16000\,e^{-0,05 t}.
(Explicação: \frac{1}{-0,05}=-20, o produto com -800 +16000.)
Portanto a primitiva total é
F(t)=-12000\,e^{-0,1 t}+16000\,e^{-0,05 t}.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando a primitiva:
\Delta P = F(5)-F(2) = \big(-12000\,e^{-0,5}+16000\,e^{-0,25}\big) - \big(-12000\,e^{-0,2}+16000\,e^{-0,1}\big).
Podemos reorganizar em forma exata:
\Delta P = 12000\big(e^{-0,2}-e^{-0,5}\big) + 16000\big(e^{-0,25}-e^{-0,1}\big).
Ou, simplificando a combinação já calculada pela primitiva:
\Delta P = \big(-12000\,e^{-0,5}+16000\,e^{-0,25}\big) - \big(-12000\,e^{-0,2}+16000\,e^{-0,1}\big).

Passo 7

Calcular aproximações numéricas (para interpretar em habitantes). Vou mostrar os valores aproximados dos exponenciais (usei uma calculadora para estes valores; em prova aceitar-se-ia expressão exata em termos de e se não for pedido valor numérico):
e^{-0,5}\approx 0,6065306597,\quad e^{-0,25}\approx 0,7788007831,
e^{-0,2}\approx 0,8187307531,\quad e^{-0,1}\approx 0,9048374180.
Substituindo em F(5) e F(2):
F(5)\approx -12000\cdot 0,6065306597 + 16000\cdot 0,7788007831 \approx 5182,445,
F(2)\approx -12000\cdot 0,8187307531 + 16000\cdot 0,9048374180 \approx 4652,630.
Logo
\Delta P = F(5)-F(2)\approx 5182,445-4652,630 \approx 529,815.
Interpretação: a população aumentou em aproximadamente 529,815 habitantes entre 2022 e 2025 (ou, arredondando para pessoa inteira, cerca de 530 habitantes a mais).

Passo 8

Agora calcular os totais separados de nascimentos e mortes no período [2,5].
Nascimentos:
\text{Nascimentos}=\int_{2}^{5}1200 e^{-0,1 t}\,dt.
Já calculamos a primitiva do termo: -12000 e^{-0,1 t}. Portanto
\text{Nascimentos}=\big[-12000 e^{-0,1 t}\big]_{2}^{5} = -12000(e^{-0,5}-e^{-0,2}) = 12000(e^{-0,2}-e^{-0,5}).
Substituindo os valores aproximados:
\text{Nascimentos}\approx 12000(0,8187307531-0,6065306597)\approx 12000\cdot 0,2122000934\approx 2546,401.
Mortes:
\text{Mortes}=\int_{2}^{5}800 e^{-0,05 t}\,dt.
A primitiva de 800 e^{-0,05 t} é -16000 e^{-0,05 t}. Então
\text{Mortes}=\big[-16000 e^{-0,05 t}\big]_{2}^{5} = -16000(e^{-0,25}-e^{-0,1}) = 16000(e^{-0,1}-e^{-0,25}).
Substituindo:
\text{Mortes}\approx 16000(0,9048374180-0,7788007831)\approx 16000\cdot 0,1260366349\approx 2016,586.

Passo 9

Checagem de consistência:
\text{Nascimentos} - \text{Mortes} \approx 2546,401 - 2016,586 \approx 529,815,
que coincide com a variação total \Delta P calculada antes — excelente sinal de que os cálculos estão corretos.

Resposta

\Delta P\approx 529,815 (a população aumentou em aproximadamente 529,815 habitantes entre 2022 e 2025)
\text{Nascimentos}\approx 2546,401 habitantes (total de nascimentos no período)
\text{Mortes}\approx 2016,586 habitantes (total de mortes no período)

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