Em uma certa cidade, a taxa de variação da população (em habitantes por ano), no instante
anos após 2020 , é dada por
.
(a) Calcule a variação total da população entre os anos de 2022 e 2025.
(b) Determine o número total de nascimentos e de mortes nesse período.
(a) Calcule a variação total da população entre os anos de 2022 e 2025.
(b) Determine o número total de nascimentos e de mortes nesse período.
Passo 1
O enunciado dá a taxa de variação da população (habitantes por ano) no instante
anos após 2020:
As perguntas são:
- Calcular a variação total da população entre 2022 e 2025.
- Determinar o número total de nascimentos e o número total de mortes nesse mesmo período.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável
mede anos após 2020, portanto o ano 2022 corresponde a e 2025 corresponde a . - A função
fornece a taxa líquida de crescimento: parece escrita como diferença entre duas taxas positivas. Podemos interpretar o termo como a taxa de nascimentos por ano e o termo como a taxa de mortes por ano (essa é a forma natural de interpretar quando a taxa é dada como diferença “nascimentos menos mortes”).
Passo 2
Entender o que devemos calcular e como usar cálculo integral:
- A variação total da população num intervalo de tempo
é dada pela integral definida de nesse intervalo:
- O número total de nascimentos no intervalo é a integral da taxa de nascimentos
nesse intervalo:
- O número total de mortes no intervalo é a integral da taxa de mortes
nesse intervalo:
No nosso caso, com a interpretação natural mencionada:
e queremos integrar entre
e
.
Passo 3
Recordando a fórmula básica de integração que vamos usar (aula rápida):
- Para qualquer constante
,
- Se houver uma constante multiplicativa
,
Aqui os expoentes são negativos (por exemplo
), a fórmula ainda vale com
negativo; só tomamos cuidado com o sinal ao calcular
.
Passo 4
Montar a integral para a variação total da população entre 2022 (
) e 2025 (
):
Vamos calcular a primitiva (antiderivada) da função integrando termo a termo.
Passo 5
Calcular a primitiva de cada termo (mostrando passo a passo):
- Para
:
(Explicação:
, então
.)
- Para
:
(Explicação:
, o produto com
dá
.)
Portanto a primitiva total é
Portanto a primitiva total é
Passo 6
Avaliar a integral definida usando a primitiva:
Podemos reorganizar em forma exata:
Ou, simplificando a combinação já calculada pela primitiva:
Passo 7
Calcular aproximações numéricas (para interpretar em habitantes). Vou mostrar os valores aproximados dos exponenciais (usei uma calculadora para estes valores; em prova aceitar-se-ia expressão exata em termos de
se não for pedido valor numérico):
Substituindo em
e
:
Logo
Interpretação: a população aumentou em aproximadamente
habitantes entre 2022 e 2025 (ou, arredondando para pessoa inteira, cerca de
habitantes a mais).
Passo 8
Agora calcular os totais separados de nascimentos e mortes no período
.
Nascimentos:
Já calculamos a primitiva do termo:
. Portanto
Substituindo os valores aproximados:
Mortes:
A primitiva de
é
. Então
Substituindo:
Passo 9
Checagem de consistência:
que coincide com a variação total
calculada antes — excelente sinal de que os cálculos estão corretos.