Considere uma barra muito fina, com uma extremidade em x=0 e outra em x=L. Seja a densidade linear de carga dada por lambda=a x, onde a é uma constante, determine o potencial elétrico da barra em x=0, y=L / 2

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico produzido por uma barra carregada, de x=0 até x=L, com densidade linear de carga lambda(x)=a,x, no ponto de observação (x,y)=(0,L/2). Vamos usar a expressão do potencial para uma distribuição contínua de carga unidimensional.

Passo 2

O potencial em um ponto P devido a um elemento de carga dq é dado por
dV = 14pivarepsilon0,dqr,
onde r é a distância entre o elemento dq e P. Aqui dq=lambda(x),dx=a,x,dx.

Passo 3

No nosso caso, o ponto P está em (0,L/2) e o elemento de carga está em (x,0). Logo a distância é
r = raiz(x-0)^2 + l(0 - tfracL2r)^2 = raizx^2 + l(tfracL2r)^2

Passo 4

Substituindo em dV e integrando de x=0 até x=L, temos
V = integral0^L dV = 14pivarepsilon0integral0^L a,xraizx^2 + (L/2)^2,dx

Passo 5

Para calcular a integral, note que
integral xraizx^2 + alpha^2,dx = raizx^2 + alpha^2,
com alpha = L/2. Avaliando de 0 a L:
integral0^L xraizx^2 + (L/2)^2,dx = raizL^2 + (L/2)^2 - raiz0 + (L/2)^2 = L2l(raiz5 - 1r)
Assim
V = a4pivarepsilon0,L2l(raiz5-1r) = a,L8pivarepsilon0l(raiz5-1r)

Resposta

Vl(0,tfracL2r) = a,L8pivarepsilon0,l(raiz5-1r)

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