Uma porta giratória circular de raio R=1,0 \mathrm{~m} e massa 80 kg gira com \omega=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Um aluno empurra suavemente na borda, tentando pará-la.
a) Calcule o momento de inércia da porta (assuma disco uniforme).
b) Qual o torque necessário para pará-la em 4 s ?
c) Qual deve ser a força mínima aplicada tangencialmente na borda?

Passo 1

O enunciado descreve uma porta giratória que pode ser modelada como um disco uniforme de massa m=80 kg e raio R=1,0 m, girando com velocidade angular inicial \omega=2 rad/s. Precisamos calcular:
  1. O momento de inércia I do disco.
  2. O torque constante \tau que a faz parar em \Delta t=4 s.
  3. A força tangencial F mínima aplicada na borda para gerar esse torque.

Passo 2

O momento de inércia de um disco uniforme em relação ao eixo central perpendicular ao plano é
I = \tfrac12\,m\,R^2.
Substituindo m=80 kg e R=1,0 m:
I = \tfrac12 \cdot 80 \cdot (1,0)^2 = 40\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 3

Para parar em \Delta t=4 s, a aceleração angular constante é
\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{0 - 2}{4} = -0,5\\ \mathrm{rad/s^2}.
O torque necessário satisfaz \tau = I\,\alpha. Tomando o módulo (o sinal indica sentido oposto ao da rotação):
|\tau| = 40 \cdot 0,5 = 20\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Como o torque produzido por uma força tangencial F na borda é \tau = F\,R, temos
F = \frac{|\tau|}{R} = \frac{20}{1,0} = 20\\ \mathrm{N}.

Resposta

a) I = 40\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
b) |\tau| = 20\\ \mathrm{N\cdot m}.
c) F = 20\\ \mathrm{N}.

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