Uma esfera rola sem deslizar por um plano inclinado e, ao final, cai de uma altura
, atingindo uma mesa giratória horizontal sem atrito. A mesa passa a girar com velocidade angular constante.
a) Calcule a velocidade da esfera ao fim do plano inclinado (use conservação de energia com rotação).
b) Após o impacto, como a conservação do momento angular se aplica ao sistema esfera + mesa?
c) Que grandezas se conservam em cada etapa do problema?
a) Calcule a velocidade da esfera ao fim do plano inclinado (use conservação de energia com rotação).
b) Após o impacto, como a conservação do momento angular se aplica ao sistema esfera + mesa?
c) Que grandezas se conservam em cada etapa do problema?
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera de massa
e raio
que rola sem deslizar por um plano inclinado de altura
, depois cai sobre uma mesa giratória de momento de inércia
em torno de seu eixo vertical (sem atrito no eixo).
Conteúdo: conservação de energia (translacional + rotacional) e conservação do momento angular em torno do eixo da mesa.
Conteúdo: conservação de energia (translacional + rotacional) e conservação do momento angular em torno do eixo da mesa.
Passo 2
Para achar a velocidade
ao fim do plano, usamos conservação da energia mecânica entre o topo (energia potencial
) e o pé do plano (energia cinética de translação + rotação).
A energia cinética total é
A energia cinética total é
e para uma esfera sólida
Logo
Isolando
:
Passo 3
Após a esfera atingir a mesa e escorregar até rolar sem deslizar, a única força de atrito entre esfera e mesa é interna ao sistema “esfera + mesa” e não há torque externo em torno do eixo vertical. Portanto o momento angular em relação a esse eixo se conserva:
Se a esfera atinge a mesa a uma distância
do eixo com velocidade
, seu momento angular inicial é
Depois, quando mesa e esfera giram em conjunto sem escorregar com velocidade angular
, o momento angular total é
Conservação do momento angular:
Passo 4
As grandezas conservadas em cada etapa são:
1. No plano inclinado com rotação sem deslizar, a força de atrito é estática e não realiza trabalho, logo energia mecânica (potencial+cinética rot.+transl.) é conservada.
2. Na queda livre até a mesa, só atua o peso (sem torque na rotação), de modo que a energia mecânica também se conserva (a rotação permanece com ).
3. Durante o acoplamento até rolamento sem deslizar na mesa, há trabalho dissipativo do atrito, então energia mecânica não é conservada, mas momento angular em torno do eixo vertical é conservado.
4. Depois que esfera e mesa rolam em conjunto sem deslizar, o atrito é estático sem trabalho e a energia mecânica de rotação (mesa + esfera) volta a ser conservada.
1. No plano inclinado com rotação sem deslizar, a força de atrito é estática e não realiza trabalho, logo energia mecânica (potencial+cinética rot.+transl.) é conservada.
2. Na queda livre até a mesa, só atua o peso (sem torque na rotação), de modo que a energia mecânica também se conserva (a rotação permanece com
3. Durante o acoplamento até rolamento sem deslizar na mesa, há trabalho dissipativo do atrito, então energia mecânica não é conservada, mas momento angular em torno do eixo vertical é conservado.
4. Depois que esfera e mesa rolam em conjunto sem deslizar, o atrito é estático sem trabalho e a energia mecânica de rotação (mesa + esfera) volta a ser conservada.
Resposta
a)
b) A conservação do momento angular em torno do eixo vertical dá
b) A conservação do momento angular em torno do eixo vertical dá
c)
- No plano inclinado: energia mecânica conservada.
- Na queda livre: energia mecânica conservada.
- No acoplamento com a mesa: momento angular conservado (energia mecânica não).
- Depois de rolar sem deslizar na mesa: energia mecânica de rotação conservada.