Uma esfera rola sem deslizar por um plano inclinado e, ao final, cai de uma altura h, atingindo uma mesa giratória horizontal sem atrito. A mesa passa a girar com velocidade angular constante.
a) Calcule a velocidade da esfera ao fim do plano inclinado (use conservação de energia com rotação).
b) Após o impacto, como a conservação do momento angular se aplica ao sistema esfera + mesa?
c) Que grandezas se conservam em cada etapa do problema?

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de massa m e raio R que rola sem deslizar por um plano inclinado de altura h, depois cai sobre uma mesa giratória de momento de inércia I_0 em torno de seu eixo vertical (sem atrito no eixo).
Conteúdo: conservação de energia (translacional + rotacional) e conservação do momento angular em torno do eixo da mesa.

Passo 2

Para achar a velocidade v ao fim do plano, usamos conservação da energia mecânica entre o topo (energia potencial mgh) e o pé do plano (energia cinética de translação + rotação).
A energia cinética total é
\frac12\,m\,v^2 + \frac12\,I\,\omega^2
e para uma esfera sólida
I = \frac25\,m\,R^2, \quad \omega = \frac{v}{R}.
Logo
mgh = \frac12\,m\,v^2 + \frac12\Bigl(\frac25\,mR^2\Bigr)\Bigl(\frac{v}{R}\Bigr)^2 = \frac12\,m\,v^2\Bigl(1 + \frac25\Bigr) = \frac12\,m\,v^2\;\frac{7}{5}.
Isolando v^2:
v^2 = \frac{10}{7}\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{10}{7}\,g\,h}.

Passo 3

Após a esfera atingir a mesa e escorregar até rolar sem deslizar, a única força de atrito entre esfera e mesa é interna ao sistema “esfera + mesa” e não há torque externo em torno do eixo vertical. Portanto o momento angular em relação a esse eixo se conserva:
Se a esfera atinge a mesa a uma distância r do eixo com velocidade v, seu momento angular inicial é
L_i = m\,v\,r.
Depois, quando mesa e esfera giram em conjunto sem escorregar com velocidade angular \Omega, o momento angular total é
L_f = I_0\,\Omega + m\,r^2\,\Omega.
Conservação do momento angular:
m\,v\,r = \bigl(I_0 + m\,r^2\bigr)\,\Omega.

Passo 4

As grandezas conservadas em cada etapa são:
1. No plano inclinado com rotação sem deslizar, a força de atrito é estática e não realiza trabalho, logo energia mecânica (potencial+cinética rot.+transl.) é conservada.
2. Na queda livre até a mesa, só atua o peso (sem torque na rotação), de modo que a energia mecânica também se conserva (a rotação permanece com \omega=v/R).
3. Durante o acoplamento até rolamento sem deslizar na mesa, há trabalho dissipativo do atrito, então energia mecânica não é conservada, mas momento angular em torno do eixo vertical é conservado.
4. Depois que esfera e mesa rolam em conjunto sem deslizar, o atrito é estático sem trabalho e a energia mecânica de rotação (mesa + esfera) volta a ser conservada.

Resposta

a) \displaystyle v = \sqrt{\tfrac{10}{7}\,g\,h}.
b) A conservação do momento angular em torno do eixo vertical dá
m\,v\,r = \bigl(I_0 + m\,r^2\bigr)\,\Omega.
c)
  1. No plano inclinado: energia mecânica conservada.
  2. Na queda livre: energia mecânica conservada.
  3. No acoplamento com a mesa: momento angular conservado (energia mecânica não).
  4. Depois de rolar sem deslizar na mesa: energia mecânica de rotação conservada.

Exercícios relacionados