( 1,0 pontos) Uma parede espessa de madeira (alpha=0,82 cdot 10^-7 m^2 / s e k=0,15 W /(m ^circ C).) está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20^circ C. A madeira entra em combustão a 400^circ C. Se a superficie for exposta a gases quentes a ToO=500 ^circ C e o coeficiente de transferência de calor entre o gás e a superficie for h=45 W /(m ^circ C), quanto tempo vai passar para que a superficie da madeira atinja 400^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma parede grossa de madeira que começa com uma temperatura uniforme de 20^circ C. Queremos saber quanto tempo leva para a superfície dessa parede aquecer até 400^circ C quando exposta a gases quentes a 500^circ C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução térmica e convecção. Precisaremos das constantes fornecidas: a difusividade térmica alpha, a condutividade térmica k, e o coeficiente de transferência de calor h.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo representa:
  • Difusividade térmica ( alpha): Mede quão rápido o calor se propaga através do material. Aqui, alpha = 0,82 times 10^-7 m^2/s.
  • Condutividade térmica ( k): Indica a capacidade do material de conduzir calor. Para a madeira, k = 0,15 W/(m cdot ^circ C).
  • Coeficiente de transferência de calor ( h): Relaciona a taxa de transferência de calor por convecção entre a superfície e o fluido (gases quentes). Aqui, h = 45 W/(m^2 cdot ^circ C).

Passo 3

Vamos assumir que a parede é suficientemente espessa para que possamos tratar o problema como um sólido infinito na direção da profundidade. Isso significa que a variação de temperatura ocorre principalmente na direção perpendicular à superfície exposta aos gases. Com isso, podemos usar a solução para condução térmica transiente com condições de contorno de convecção na superfície.

Passo 4

A equação que descreve a temperatura na superfície T(t) em função do tempo é dada por:
T(t) = Tinfty - (Tinfty - T0) cdot erfc(x2raizalpha t)
Onde:
  • Tinfty = 500^circ C (temperatura dos gases)
  • T0 = 20^circ C (temperatura inicial da madeira)
  • erfc é a função complementar do erro
  • x é a distância da superfície até o ponto onde queremos calcular a temperatura (nesse caso, x = 0 para a superfície)

Passo 5

Para a superfície ( x = 0), a função erfc(0) = 1. Então, a equação simplifica para:
T(t) = Tinfty - (Tinfty - T0) cdot 1 = T0
Isso indica que, instantaneamente, a temperatura na superfície começaria a mudar, mas queremos saber quando ela atinge 400^circ C.

Passo 6

Na verdade, para tempos finitos, precisamos relacionar a taxa de aquecimento com o coeficiente de transferência de calor h. Podemos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de variação da temperatura com a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido:
dTdt = hrho cp (Tinfty - T)
Onde:
  • rho é a densidade da madeira
  • cp é a capacidade térmica específica da madeira

Passo 7

Integralizando a equação diferencial, temos:
ln(Tinfty - T(t)Tinfty - T0) = -hrho cp t
Resolvendo para t:
t = -rho cph ln(Tinfty - T(t)Tinfty - T0)

Passo 8

Substituindo os valores:
  • T(t) = 400^circ C
  • Tinfty = 500^circ C
  • T0 = 20^circ C
t = -rho cp45 ln(500 - 400500 - 20) = -rho cp45 ln(100480)

Passo 9

Calculando o logaritmo:
ln(100480) = ln(524) approx ln(0,2083) approx -1,5686
Então,
t = -rho cp45 times (-1,5686) = rho cp times 1,568645

Passo 10

Sem os valores de densidade rho e capacidade térmica específica cp da madeira, não podemos calcular um valor numérico definitivo para t. No entanto, a fórmula final que relaciona o tempo necessário para a superfície atingir 400^circ C é:
t = rho cp times 1,568645

Resposta

O tempo necessário para que a superfície da madeira atinja 400^circ C é dado por t = rho cp times 1,568645 segundos, onde rho é a densidade e cp é a capacidade térmica específica da madeira.

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