( 1,0 pontos) Uma parede espessa de madeira
e
.) está inicialmente a uma temperatura uniforme de
. A madeira entra em combustão a
. Se a superficie for exposta a gases quentes a
e o coeficiente de transferência de calor entre o gás e a superficie for
, quanto tempo vai passar para que a superficie da madeira atinja
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma parede grossa de madeira que começa com uma temperatura uniforme de
. Queremos saber quanto tempo leva para a superfície dessa parede aquecer até
quando exposta a gases quentes a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução térmica e convecção. Precisaremos das constantes fornecidas: a difusividade térmica
, a condutividade térmica
, e o coeficiente de transferência de calor
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo representa:
- Difusividade térmica (
): Mede quão rápido o calor se propaga através do material. Aqui, . - Condutividade térmica (
): Indica a capacidade do material de conduzir calor. Para a madeira, . - Coeficiente de transferência de calor (
): Relaciona a taxa de transferência de calor por convecção entre a superfície e o fluido (gases quentes). Aqui, .
Passo 3
Vamos assumir que a parede é suficientemente espessa para que possamos tratar o problema como um sólido infinito na direção da profundidade. Isso significa que a variação de temperatura ocorre principalmente na direção perpendicular à superfície exposta aos gases. Com isso, podemos usar a solução para condução térmica transiente com condições de contorno de convecção na superfície.
Passo 4
A equação que descreve a temperatura na superfície
em função do tempo é dada por:
Onde:
-
(temperatura dos gases) -
(temperatura inicial da madeira) -
é a função complementar do erro -
é a distância da superfície até o ponto onde queremos calcular a temperatura (nesse caso, para a superfície)
Passo 5
Para a superfície (
), a função
. Então, a equação simplifica para:
Isso indica que, instantaneamente, a temperatura na superfície começaria a mudar, mas queremos saber quando ela atinge
.
Passo 6
Na verdade, para tempos finitos, precisamos relacionar a taxa de aquecimento com o coeficiente de transferência de calor
. Podemos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de variação da temperatura com a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido:
Onde:
-
é a densidade da madeira -
é a capacidade térmica específica da madeira
Passo 7
Integralizando a equação diferencial, temos:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituindo os valores:
Passo 9
Calculando o logaritmo:
Então,
Passo 10
Sem os valores de densidade
e capacidade térmica específica
da madeira, não podemos calcular um valor numérico definitivo para
. No entanto, a fórmula final que relaciona o tempo necessário para a superfície atingir
é:
Resposta
O tempo necessário para que a superfície da madeira atinja
é dado por
segundos, onde
é a densidade e
é a capacidade térmica específica da madeira.