Considere uma barra de metal com 50 cm de comprimento, isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura uniforme de
, supondo que
e que suas extremidades são mantidas a temperatura de
e
respectivamente.
Faça os gráficos da distribuição inicial de temperatura, da distribuição final (estado estacionário) e de duas distribuições em dois instantes intermediários
Faça os gráficos da distribuição inicial de temperatura, da distribuição final (estado estacionário) e de duas distribuições em dois instantes intermediários
Passo 1
Beleza, bora lá! A gente tem uma barra de metal de 50 cm que tá isolada nas laterais e começa toda com uma temperatura de 20°C. As pontas da barra são mantidas a 30°C e -20°C, respectivamente. Vamos usar conceitos de condução de calor para desenhar como a temperatura se distribui na barra no início, no estado estacionário (quando as temperaturas param de mudar) e em dois momentos intermediários enquanto a barra está chegando ao equilíbrio térmico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estado estacionário. Isso é quando a temperatura na barra não muda mais com o tempo. Nesse caso, a distribuição de temperatura será uma linha reta entre as duas extremidades, já que não há mais troca de calor acontecendo.
Passo 3
No início, toda a barra está a 20°C. Então, a distribuição de temperatura inicial é uma linha horizontal, onde cada ponto da barra tem 20°C.
Passo 4
Agora, para os momentos intermediários, precisamos pensar em como a temperatura está mudando ao longo do tempo até chegar ao estado estacionário. Usamos a equação do calor para uma dimensão:
Aqui,
é a difusividade térmica da barra. Essa equação nos ajuda a entender como a temperatura
muda no espaço
e no tempo
.
Passo 5
Para resolver essa equação, usamos a separação de variáveis e consideramos as condições de contorno (temperaturas fixas nas extremidades) e a condição inicial (temperatura uniforme). A solução geral será uma soma de funções que decrescem exponencialmente com o tempo, somando-se à solução de estado estacionário.
Passo 6
Sem entrar em detalhes matemáticos complexos, o que acontece é que, nos momentos intermediários, a distribuição de temperatura começa a se inclinar mais perto das extremidades, aproximando-se de 30°C de um lado e -20°C do outro. Quanto mais tempo passa, mais a distribuição se aproxima da linha reta final.
Passo 7
Então, resumindo:
- Distribuição Inicial: Linha horizontal a 20°C.
- Distribuição em Momentos Intermediários: Curvas que começam a se inclinar em direção a 30°C de um lado e -20°C do outro.
- Distribuição Final (Estado Estacionário): Linha reta inclinada de 30°C a -20°C ao longo da barra.
Resposta
As distribuições de temperatura ao longo da barra são as seguintes:
- Inicial: Temperatura uniforme de 20°C em toda a barra.
- Intermediário 1: A temperatura começa a se inclinar, aproximando-se de 30°C na extremidade esquerda e de -20°C na extremidade direita.
- Intermediário 2: A inclinação das temperaturas se acentua, refletindo maior aproximação das extremidades às suas temperaturas fixas.
- Final (Estado Estacionário): Distribuição linear de 30°C a -20°C ao longo dos 50 cm da barra.
Esses gráficos mostram como a temperatura se estabiliza ao longo do tempo, partindo de um estado uniforme até chegar ao equilíbrio definido pelas temperaturas das extremidades.