Considere uma barra de metal com 50 cm de comprimento, isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20 graus Celsius, supondo que alpha = 1 e que suas extremidades são mantidas a temperatura de 30 graus C e -20 °C respectivamente.
Faça os gráficos da distribuição inicial de temperatura, da distribuição final (estado estacionário) e de duas distribuições em dois instantes intermediários

Passo 1

Beleza, bora lá! A gente tem uma barra de metal de 50 cm que tá isolada nas laterais e começa toda com uma temperatura de 20°C. As pontas da barra são mantidas a 30°C e -20°C, respectivamente. Vamos usar conceitos de condução de calor para desenhar como a temperatura se distribui na barra no início, no estado estacionário (quando as temperaturas param de mudar) e em dois momentos intermediários enquanto a barra está chegando ao equilíbrio térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estado estacionário. Isso é quando a temperatura na barra não muda mais com o tempo. Nesse caso, a distribuição de temperatura será uma linha reta entre as duas extremidades, já que não há mais troca de calor acontecendo.

Passo 3

No início, toda a barra está a 20°C. Então, a distribuição de temperatura inicial é uma linha horizontal, onde cada ponto da barra tem 20°C.

Passo 4

Agora, para os momentos intermediários, precisamos pensar em como a temperatura está mudando ao longo do tempo até chegar ao estado estacionário. Usamos a equação do calor para uma dimensão:
Aqui, é a difusividade térmica da barra. Essa equação nos ajuda a entender como a temperatura muda no espaço e no tempo .

Passo 5

Para resolver essa equação, usamos a separação de variáveis e consideramos as condições de contorno (temperaturas fixas nas extremidades) e a condição inicial (temperatura uniforme). A solução geral será uma soma de funções que decrescem exponencialmente com o tempo, somando-se à solução de estado estacionário.

Passo 6

Sem entrar em detalhes matemáticos complexos, o que acontece é que, nos momentos intermediários, a distribuição de temperatura começa a se inclinar mais perto das extremidades, aproximando-se de 30°C de um lado e -20°C do outro. Quanto mais tempo passa, mais a distribuição se aproxima da linha reta final.

Passo 7

Então, resumindo:
  • Distribuição Inicial: Linha horizontal a 20°C.
  • Distribuição em Momentos Intermediários: Curvas que começam a se inclinar em direção a 30°C de um lado e -20°C do outro.
  • Distribuição Final (Estado Estacionário): Linha reta inclinada de 30°C a -20°C ao longo da barra.

Resposta

As distribuições de temperatura ao longo da barra são as seguintes:
  1. Inicial: Temperatura uniforme de 20°C em toda a barra.
  2. Intermediário 1: A temperatura começa a se inclinar, aproximando-se de 30°C na extremidade esquerda e de -20°C na extremidade direita.
  3. Intermediário 2: A inclinação das temperaturas se acentua, refletindo maior aproximação das extremidades às suas temperaturas fixas.
  4. Final (Estado Estacionário): Distribuição linear de 30°C a -20°C ao longo dos 50 cm da barra.
Esses gráficos mostram como a temperatura se estabiliza ao longo do tempo, partindo de um estado uniforme até chegar ao equilíbrio definido pelas temperaturas das extremidades.

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