A partir da série de Fourier da função
para
, mostre que
Passo 1
Beleza, o enunciado está pedindo para, a partir da série de Fourier da função
definida no intervalo
, mostrar que
é igual a uma soma infinita específica:
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier dessa função e depois manipular a série para chegar na soma desejada.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita como uma soma de funções seno e cosseno. No caso da função
no intervalo
, essa função é ímpar (porque
), então sua série de Fourier vai conter apenas termos de seno. A série fica:
Aqui,
são os coeficientes de Fourier que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
, usamos a fórmula específica para funções ímpares:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Integrando novamente:
Avaliando de 0 a 1:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, substituímos os coeficientes
na série de Fourier:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos escolher um valor específico para
para simplificar a expressão. Vamos pegar
:
Ou seja:
Passo 7
Observando
:
- Para
ímpar ( ), - Para
par,
Portanto, apenas os termos ímpares contribuem para a soma.
Passo 8
Assim, podemos reescrever a série considerando apenas
, onde
:
Dividindo ambos os lados por 2: