A partir da série de Fourier da função f(x)=x para x in(-1,1), mostre que
pi4=1-13+15-17+19-111+cdots=sumk=0^infty (-1)^k2 k+1

Passo 1

Beleza, o enunciado está pedindo para, a partir da série de Fourier da função definida no intervalo , mostrar que é igual a uma soma infinita específica: , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier dessa função e depois manipular a série para chegar na soma desejada.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita como uma soma de funções seno e cosseno. No caso da função f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi x) no intervalo , essa função é ímpar (porque ), então sua série de Fourier vai conter apenas termos de seno. A série fica:
Aqui, são os coeficientes de Fourier que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes bn = 2 integral0^1 f(x) sin(npi x) , dx , usamos a fórmula específica para funções ímpares:
bn = 2 integral0^1 x sin(npi x) , dx
Substituindo :

Passo 4

Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Seja integral x sin(npi x) , dx = -xnpi cos(npi x) + 1npi integral cos(npi x) , dx e = -xnpi cos(npi x) + 1(npi)^2 sin(npi x) + C . Então, = -1npi cos(npi) + 1(npi)^2 sin(npi) - (0 + 0) e bn = 2 ( -(-1)^nnpi ) = 2(-1)^n+1npi .
Aplicando integração por partes:
Integrando novamente:
Avaliando de 0 a 1:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, substituímos os coeficientes f(x) = x = sumn=1^infty 2(-1)^n+1npi sin(npi x) na série de Fourier:
pi x = sumn=1^infty 2(-1)^n+1n sin(npi x)
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Vamos escolher um valor específico para pi cdot 12 = sumn=1^infty 2(-1)^n+1n sin(npi cdot 12) para simplificar a expressão. Vamos pegar pi2 = sumn=1^infty 2(-1)^n+1n sin(npi2) :
Ou seja:

Passo 7

Observando :
  • Para ímpar ( ),
  • Para par,
Portanto, apenas os termos ímpares contribuem para a soma.

Passo 8

Assim, podemos reescrever a série considerando apenas pi2 = 2 sumk=0^infty (-1)^k2k+1 , onde pi4 = sumk=0^infty (-1)^k2k+1 = 1 - 13 + 15 - 17 + 19 - 111 + cdots :
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

pi4 = 1 - 13 + 15 - 17 + 19 - 111 + cdots = sumk=0^infty (-1)^k2k+1

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