Resolva o problema de valor inicial e de fronteira usando o método de separação de variáveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de equação de calor, onde queremos encontrar como a temperatura varia no tempo e no espaço. Isso envolve resolver uma equação diferencial parcial usando o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender a equação de calor, as condições iniciais e de contorno, e aplicar a separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que estamos lidando:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Essa é a equação de calor, onde é a difusividade térmica. Queremos encontrar que satisfaz essa equação junto com as condições iniciais e de contorno dadas.
Passo 3
As condições iniciais e de contorno são:
Condição inicial: para .
Condição de contorno em : (isolamento térmico).
Condição de contorno em : (temperatura fixa).
Vamos resolver esse problema utilizando separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como .
Passo 4
Substituindo X(x) dTdt = alpha^2 T(t) d^2Xdx^2 na equação de calor:
1alpha^2 T(t) dTdt = 1X(x) d^2Xdx^2 = -lambda
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 5
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para dTdt + alpha^2 lambda T = 0 :
T(t) = C e^-alpha^2 lambda t
A solução geral é:
d^2Xdx^2 + lambda X = 0
Para X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x) :
A solução geral é:
Passo 6
Aplicamos as condições de contorno para encontrar os valores de dXdx(0) = 0 , dXdx = -A raizlambda sin(raizlambda x) + B raizlambda cos(raizlambda x) e B raizlambda = 0 Rightarrow B = 0 .
Primeiro, a condição em :
Calculando a derivada:
Substituindo :
Portanto, .
Passo 7
Agora, aplicamos a condição em u(L, t) = T2 :
A cos(raizlambda L) T(t) = T2
Substituindo raizlambda L = (2n+1)pi2, n = 0, 1, 2, ldots e lambdan = ( (2n+1)pi2L )^2 :
Para que isso seja válido para todo , precisamos que . Isso ocorre quando:
Então,
Passo 8
Com u(x, t) = sumn=0^infty An cos( (2n+1)pi x2L ) e^-alpha^2 ( (2n+1)pi2L )^2 t + T2 encontrados, a solução geral da equação de calor é uma soma infinita das soluções obtidas:
Aqui, é a temperatura de equilíbrio, e os coeficientes são determinados pela condição inicial .
Passo 9
Para determinar os coeficientes f(x) = sumn=0^infty An cos( (2n+1)pi x2L ) + T2 , expandimos a condição inicial:
f(x) - T2 = sumn=0^infty An cos( (2n+1)pi x2L )
Subtraindo de ambos os lados:
Os coeficientes são calculados usando a ortogonalidade das funções cosseno.
Resposta
A solução geral do problema de valor inicial e de fronteira é:
u(x, t) = T2 + sumn=0^infty An cos( (2n+1)pi x2L ) e^-alpha^2 ( (2n+1)pi2L )^2 t
onde os coeficientes são determinados a partir da condição inicial .