Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Laplace
no retângulo
,
sujeita às condições de contorno
Vamos usar separação de variáveis e expansão em autofunções para resolver.
Passo 2
Assumimos
. Substituindo em
e dividindo por
dá
Pelas condições
e
obtemos o problema de Sturm–Liouville
cujas autofunções são
Passo 3
Para cada
a equação em
é
cuja solução geral é
Assim, a solução geral por soma de modos fica
Passo 4
As condições
já estão satisfeitas pela escolha de
. Restam
Expandimos
e
em séries de senos:
Passo 5
Igualando coeficientes para cada
obtemos o sistema
Resolvendo em
e
resulta
Usando as funções hiperbólicas
, temos
, e
Passo 6
Substituindo
e
na série e reagrupando em termos de
, obtemos a forma final
onde
Resposta
com