Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace no retângulo 0<x<a, 0<y<b que satisfaz as condições de contorno
\begin{array}{ll}u(x, 0)=f(x), & u(x, b)=g(x) \u(0, y)=0, & u(a, y)=0\end{array}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0
no retângulo 0<x<a, 0<y<b sujeita às condições de contorno
u(x,0)=f(x),\quad u(x,b)=g(x),\quad u(0,y)=0,\quad u(a,y)=0.
Vamos usar separação de variáveis e expansão em autofunções para resolver.

Passo 2

Assumimos u(x,y)=X(x)\,Y(y). Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 e dividindo por XY
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X''}{X} = -\lambda,\quad \frac{Y''}{Y} = \lambda.
Pelas condições X(0)=0 e X(a)=0 obtemos o problema de Sturm–Liouville
X''+\lambda X=0,\quad X(0)=X(a)=0
cujas autofunções são
X_n(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr), \quad \lambda_n=\bigl(\tfrac{n\pi}{a}\bigr)^{2}, \quad n=1,2,3,\dots

Passo 3

Para cada n a equação em y é
Y_n''(y)-\Bigl(\tfrac{n\pi}{a}\Bigr)^{2}Y_n(y)=0,
cuja solução geral é
Y_n(y)=A_n\,e^{(n\pi/a)\,y}+B_n\,e^{-(n\pi/a)\,y}.
Assim, a solução geral por soma de modos fica
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr) \bigl(A_n\,e^{(n\pi/a)\,y}+B_n\,e^{-(n\pi/a)\,y}\bigr).

Passo 4

As condições u(0,y)=u(a,y)=0 já estão satisfeitas pela escolha de X_n. Restam
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr)\,(A_n+B_n)=f(x),
u(x,b)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr)\,\bigl(A_n e^{(n\pi/a)b}+B_n e^{-(n\pi/a)b}\bigr)=g(x).
Expandimos f e g em séries de senos:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr), \quad g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}g_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr).

Passo 5

Igualando coeficientes para cada n obtemos o sistema
A_n+B_n = f_n, \quad A_n e^{(n\pi/a)b}+B_n e^{-(n\pi/a)b}=g_n.
Resolvendo em A_n e B_n resulta
A_n = \frac{g_n - f_n\,e^{-(n\pi/a)b}}{e^{(n\pi/a)b}-e^{-(n\pi/a)b}}, \quad B_n = \frac{f_n\,e^{(n\pi/a)b}-g_n}{e^{(n\pi/a)b}-e^{-(n\pi/a)b}}.
Usando as funções hiperbólicas \operatorname{sinh}, temos e^{(n\pi/a)b}-e^{-(n\pi/a)b}=2\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{n\pi}{a}b\bigr), e
A_n = \frac{g_n - f_n\,e^{-(n\pi/a)b}}{2\operatorname{sinh}(\tfrac{n\pi}{a}b)}, \quad B_n = \frac{f_n\,e^{(n\pi/a)b}-g_n}{2\operatorname{sinh}(\tfrac{n\pi}{a}b)}.

Passo 6

Substituindo A_n e B_n na série e reagrupando em termos de \operatorname{sinh}, obtemos a forma final
u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr) \frac{f_n\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}(b-y)\bigr) +g_n\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}y\bigr)} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}b\bigr)},
onde
f_n = \frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr)\,dx, \quad g_n = \frac{2}{a}\int_{0}^{a}g(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr)\,dx.

Resposta

u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr) \frac{f_n\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}(b-y)\bigr) +g_n\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}y\bigr)} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}b\bigr)},
com
f_n = \frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr)\,dx, \quad g_n = \frac{2}{a}\int_{0}^{a}g(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr)\,dx.

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