Resolva, mostrando todos os passos, a equação da onda:
\begin{array}{rr} u_{x x}=2 u_{t t}, & 0<x<3, \\\ u(0, t)=0, & t>0 \\\ u(3, t)=0, & t>0 \\\ u(x, 0)=0, & t>0 \\\ u_{t}(x, 0)=7, & 0<x<3 \\\\ 0<x<3 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda
u_{xx} = 2\,u_{tt},\quad 0<x<3,\;t>0,
com condições de contorno
u(0,t)=0,\quad u(3,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=0,\quad u_{t}(x,0)=7,\quad 0<x<3.
Este é um problema de valores de contorno para a onda unidimensional num intervalo (0,3). Vamos usar método de séries de Fourier em senos e a fórmula geral de solução da onda com velocidade c.

Passo 2

Reconhecemos que podemos escrever a solução como série de autovalores espaciais que satisfaçam X''+\lambda X=0 e X(0)=X(3)=0. Estes autovalores e autofunções são
\lambda_n = \Bigl(\frac{n\pi}{3}\Bigr)^2,\quad X_n(x)=\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr),\quad n=1,2,3,\dots
A velocidade de propagação c vem de u_{xx}=2\,u_{tt}\implies u_{tt}=\tfrac12\,u_{xx}, logo
c = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

A solução geral, que também respeita as condições de contorno, é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(c\,\lambda_n^{1/2}\,t)+B_n\sin(c\,\lambda_n^{1/2}\,t)\Bigr) \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr).
Aqui \lambda_n^{1/2}=n\pi/3.

Passo 4

Aplicando a condição inicial u(x,0)=0 obtemos
u(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad A_n=0\quad\forall n.
Logo
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{3}c\,t\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr).

Passo 5

Usamos agora u_t(x,0)=7. Diferenciando em t,
u_t(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,c\frac{n\pi}{3}\cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{3}c\,t\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr).
Em t=0 isso vira
u_t(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,c\frac{n\pi}{3}\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr) =7.
Queremos expandir a função constante 7 em série de senos no intervalo (0,3):
7 =\sum_{n=1}^{\infty}D_n\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr),
onde
D_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}7\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr)\,dx =\frac{14}{3}\cdot\frac{3}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr) =\frac{14}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Comparando coeficientes em u_t(x,0) temos
B_n\,c\frac{n\pi}{3}=D_n \quad\Longrightarrow\quad B_n =\frac{3}{c\,n\pi}\,D_n =\frac{3\sqrt{2}}{n\pi}\,\frac{14}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr) =\frac{42\sqrt{2}}{n^2\pi^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Como 1-(-1)^n é zero para n par e 2 para n ímpar,
B_n=\begin{cases} \dfrac{84\sqrt{2}}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 6

Substituindo B_n na expansão, com c=1/\sqrt{2} e \lambda_n^{1/2}=\tfrac{n\pi}{3},
u(x,t) =\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty} \frac{84\sqrt{2}}{n^2\pi^2} \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{3\sqrt{2}}\,t\Bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{m=0}^{\infty} \frac{84\sqrt{2}}{(2m+1)^2\pi^2} \sin\!\Bigl(\frac{(2m+1)\pi x}{3}\Bigr) \sin\!\Bigl(\frac{(2m+1)\pi}{3\sqrt{2}}\,t\Bigr).

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