Considere uma barra não uniforme de comprimento L onde a densidade linear de massa é \lambda(x)=k x, onde x é a distância a partir de uma extremidade. Calcule o momento de inércia em relação a essa extremidade.
Passo 1
O enunciado dá uma barra não uniforme de comprimento L com densidade linear de massa \lambda(x)=k\,x, onde x é a distância medida a partir de uma extremidade (essa extremidade é o eixo em relação ao qual queremos o momento de inércia). A tarefa é: calcular o momento de inércia da barra em relação a essa extremidade.
Informações relevantes fornecidas:
Comprimento da barra: L.
Densidade linear: \lambda(x)=k\,x para 0\le x\le L.
O eixo de rotação (ponto em relação ao qual se calcula o momento de inércia) está na extremidade correspondente a x=0.
Passo 2
Definição e ideia principal (sem fazer contas ainda).
O momento de inércia de um objeto contínuo em relação a um eixo é a soma (integral) de r^2 vezes a massa dos elementos, onde r é a distância de cada elemento ao eixo. Para uma distribuição linear unidimensional ao longo do eixo x com densidade linear \lambda(x), tomamos um elemento de comprimento \mathrm{d}x situado em x. Esse elemento tem massa
\mathrm{d}m=\lambda(x)\,\mathrm{d}x.
A contribuição desse elemento ao momento de inércia em relação ao eixo em x=0 é
\mathrm{d}I = r^2\,\mathrm{d}m,
onde aqui r=x. Logo, substituindo \mathrm{d}m,
\mathrm{d}I = x^2\,\lambda(x)\,\mathrm{d}x.
Para obter o momento de inércia total, integra-se de x=0 até x=L:
I=\int_{0}^{L} x^2\,\lambda(x)\,\mathrm{d}x.
Passo 3
Substituir a densidade \lambda(x)=k\,x na expressão integral e escrever o integral a calcular.
Expliquei acima por que os limites são de 0 a L: porque x varia ao longo da barra desde a extremidade onde está o eixo (x=0) até a outra extremidade (x=L).
Passo 4
Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{L} x^3\,\mathrm{d}x.
I = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2M}{L^2}\right)L^4 = \dfrac{2M\,L^2}{4} = \dfrac{1}{2}M\,L^2.
Portanto, em termos da massa total M e do comprimento L, o momento de inércia vale \dfrac{1}{2}M L^2.
Passo 6
Interpretação física breve e comparação (para fixar a ideia).
A densidade \lambda(x)=kx cresce com x, ou seja, há mais massa próxima ao extremo oposto ao eixo. Isso aumenta a contribuição ao momento de inércia (porque os termos são ponderados por x^2), resultando em I maior do que no caso de uma barra uniforme com mesma massa. Para comparar: uma barra uniforme de mesma massa e comprimento tem I_{\text{uniforme, eixo na extremidade}}=\dfrac{1}{3}M L^2, enquanto aqui obtemos \dfrac{1}{2}M L^2 — maior, como esperado.