Verifique se o vetor momento angular \vec{L} e o vetor velocidade angular \vec{\omega} são sempre paralelos. Justifique com um exemplo de corpo rígido simétrico ou assimétrico.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pergunta: verificar se os vetores momento angular \vec{L} e velocidade angular \vec{\omega} são sempre paralelos e justificar com exemplo(s) de corpo rígido simétrico ou assimétrico.
  • Informações dadas: nenhuma numérica específica — é um pedido conceitual + exemplos.
  • Objetivo nesta resolução: explicar a relação entre \vec{L} e \vec{\omega}, dar condições em que são paralelos e mostrar um exemplo numérico simples de corpo assimétrico em que não são paralelos, e um exemplo de corpo simétrico onde são.

Passo 2

Definição física e fórmula geral (a base teórica que precisa entender):
  • Para um conjunto de massas (ou corpo rígido) o momento angular total é definido por
\vec{L}=\int \vec{r}\times \vec{v}\,dm,
onde \vec{r} é o vetor posição de cada elemento de massa e \vec{v} a sua velocidade. Para um corpo rígido em rotação, a velocidade de um ponto vale \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}. Substituindo e usando propriedades vetoriais obtém-se que existe uma relação linear entre \vec{L} e \vec{\omega} que pode ser escrita como
\vec{L}=\mathbf{I}\,\vec{\omega},
onde \mathbf{I} é o tensor (matriz) de inércia do corpo.
  • O tensor de inércia tem componentes (em uma base cartesiana qualquer)
I_{ij}=\int (\delta_{ij}\,\mathbf{r}^2 - x_i x_j)\,dm,
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker, x_i as componentes de \vec{r}. Portanto \vec{L} é, em geral, o produto de uma matriz \mathbf{I} por um vetor \vec{\omega}.

Passo 3

Interpretação linear e condição de paralelismo (a parte conceitual importante para a prova):
  • Se escolhermos os eixos principais (autovetores) do corpo, o tensor de inércia fica diagonal, com entradas I_1,I_2,I_3 chamadas momentos de inércia principais. Nessa base:
\vec{\omega}=(\omega_1,\omega_2,\omega_3),\qquad \vec{L}=(I_1\omega_1,I_2\omega_2,I_3\omega_3).
  • Para que \vec{L} seja paralelo a \vec{\omega} deve existir um escalar \lambda tal que \vec{L}=\lambda\vec{\omega}. Em componentes isso dá
I_1\omega_1=\lambda\omega_1,\quad I_2\omega_2=\lambda\omega_2,\quad I_3\omega_3=\lambda\omega_3.
  • Dessa igualdade em componentes seguem dois casos em que \vec{L} é paralelo a \vec{\omega}:
    1. \vec{\omega} tem apenas uma componente não nula — isto é, a rotação é em torno de um eixo que coincide com um eixo principal (rotação em torno de um autovetor do tensor de inércia). Então \vec{L}=I_i\omega_i\,\hat{e}_i, paralelo.
    2. Todos os momentos principais são iguais: I_1=I_2=I_3. Nesse caso \mathbf{I}=I_0\mathbf{1} (corpo esférico) e \vec{L}=I_0\vec{\omega} para qualquer \vec{\omega}, logo sempre paralelos.
  • Em qualquer outro caso (por exemplo quando \omega_i tem duas componentes não nulas e os I_i correspondentes são diferentes) os componentes de \vec{L} são escalados de forma diferente e, portanto, \vec{L} e \vec{\omega} não serão paralelos.

Passo 4

Exemplo de corpo simétrico onde \vec{L} e \vec{\omega} são paralelos (caso positivo, didático):
  • Considere um cilindro sólido de massa m, raio R e altura h com o eixo de simetria ao longo de z. Os momentos de inércia principais são
I_z=\tfrac{1}{2}mR^2,\qquad I_x=I_y=\tfrac{1}{4}mR^2+\tfrac{1}{12}m h^2.
  • Se o cilindro gira em torno do seu eixo de simetria, então \vec{\omega}=\omega\,\hat{z} (apenas a componente \omega_3 é não nula). Em coordenadas principais:
\vec{L}=(I_x\cdot 0,\;I_y\cdot 0,\;I_z\omega)=(0,0,I_z\omega)=I_z\omega\,\hat{z}.
  • Conclusão: para rotação em torno do eixo de simetria (um eixo principal) \vec{L} é paralelo a \vec{\omega}. Também, se o corpo fosse esférico (todos os I_i iguais) então sempre seriam paralelos.

Passo 5

Exemplo numérico de corpo assimétrico onde \vec{L} e \vec{\omega} não são paralelos (demonstrativo passo a passo):
  • Considere os momentos principais diferentes (corpo assimétrico)
I_1=2,\qquad I_2=3,\qquad I_3=4
(em unidades quaisquer, só para exemplo). Escolha uma velocidade angular com duas componentes não nulas:
\vec{\omega}=(1,\,1,\,0).
  • Em eixos principais a relação é \vec{L}=(I_1\omega_1,I_2\omega_2,I_3\omega_3). Calculando:
\vec{L}=(2\cdot 1,\;3\cdot 1,\;4\cdot 0)=(2,\,3,\,0).
  • Para verificar se são paralelos, teste se existe \lambda tal que (2,3,0)=\lambda(1,1,0). Isso exigiria 2=\lambda e 3=\lambda ao mesmo tempo, o que é impossível. Outra verificação prática é calcular o produto vetorial:
\vec{L}\times\vec{\omega}=(2,3,0)\times(1,1,0)=(0,0,2\cdot1-3\cdot1)=(0,0,-1).
Como \vec{L}\times\vec{\omega}\neq\vec{0}, os vetores não são colineares — portanto não são paralelos. Este é um exemplo claro e simples mostrando que, para um corpo com momentos de inércia diferentes e uma rotação que não está ao longo de um eixo principal, \vec{L} e \vec{\omega} não coincidem em direção.

Passo 6

Resumo físico-intuitivo e dicas de prova (para você usar na hora):
  • Intuição: o tensor de inércia é a “matriz” que transforma velocidade angular em momento angular; se ele for anisotrópico (valores diferentes nas direções), ele muda as componentes de \vec{\omega} de maneira desigual, inclinando \vec{L} em relação a \vec{\omega}.
  • Dicas para prova: ao ver uma pergunta sobre alinhamento de \vec{L} e \vec{\omega}, pense imediatamente em duas coisas:
    1. Está a rotação ao redor de um eixo principal? (se sim, então são paralelos)
    2. O corpo é esférico? (se sim, sempre paralelos)
      Caso contrário, não presuma paralelismo — um contraexemplo com componentes diferentes nos momentos de inércia e \vec{\omega} com mais de uma componente resolve a questão rapidamente.

Resposta

Não — \vec{L} e \vec{\omega} não são sempre paralelos.
Exemplos:
  • Corpo simétrico (cilindro) girando em torno do eixo de simetria: \vec{L} paralelo a \vec{\omega}.
  • Corpo assimétrico com I_1=2,\\ I_2=3,\\ I_3=4 e \vec{\omega}=(1,1,0): \vec{L}=(2,3,0), que não é paralelo a \vec{\omega} (pois \vec{L}\times\vec{\omega}=(0,0,-1)\neq\vec{0}).

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