Verifique se o vetor momento angular
e o vetor velocidade angular
são sempre paralelos. Justifique com um exemplo de corpo rígido simétrico ou assimétrico.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pergunta: verificar se os vetores momento angular
e velocidade angular são sempre paralelos e justificar com exemplo(s) de corpo rígido simétrico ou assimétrico. - Informações dadas: nenhuma numérica específica — é um pedido conceitual + exemplos.
- Objetivo nesta resolução: explicar a relação entre
e , dar condições em que são paralelos e mostrar um exemplo numérico simples de corpo assimétrico em que não são paralelos, e um exemplo de corpo simétrico onde são.
Passo 2
Definição física e fórmula geral (a base teórica que precisa entender):
- Para um conjunto de massas (ou corpo rígido) o momento angular total é definido por
onde
é o vetor posição de cada elemento de massa e
a sua velocidade. Para um corpo rígido em rotação, a velocidade de um ponto vale
. Substituindo e usando propriedades vetoriais obtém-se que existe uma relação linear entre
e
que pode ser escrita como
onde
é o tensor (matriz) de inércia do corpo.
- O tensor de inércia tem componentes (em uma base cartesiana qualquer)
onde
é o delta de Kronecker,
as componentes de
. Portanto
é, em geral, o produto de uma matriz
por um vetor
.
Passo 3
Interpretação linear e condição de paralelismo (a parte conceitual importante para a prova):
- Se escolhermos os eixos principais (autovetores) do corpo, o tensor de inércia fica diagonal, com entradas
chamadas momentos de inércia principais. Nessa base:
- Para que
seja paralelo a deve existir um escalar tal que . Em componentes isso dá
- Dessa igualdade em componentes seguem dois casos em que
é paralelo a : -
tem apenas uma componente não nula — isto é, a rotação é em torno de um eixo que coincide com um eixo principal (rotação em torno de um autovetor do tensor de inércia). Então , paralelo. - Todos os momentos principais são iguais:
. Nesse caso (corpo esférico) e para qualquer , logo sempre paralelos.
-
- Em qualquer outro caso (por exemplo quando
tem duas componentes não nulas e os correspondentes são diferentes) os componentes de são escalados de forma diferente e, portanto, e não serão paralelos.
Passo 4
Exemplo de corpo simétrico onde
e
são paralelos (caso positivo, didático):
- Considere um cilindro sólido de massa
, raio e altura com o eixo de simetria ao longo de . Os momentos de inércia principais são
- Se o cilindro gira em torno do seu eixo de simetria, então
(apenas a componente é não nula). Em coordenadas principais:
- Conclusão: para rotação em torno do eixo de simetria (um eixo principal)
é paralelo a . Também, se o corpo fosse esférico (todos os iguais) então sempre seriam paralelos.
Passo 5
Exemplo numérico de corpo assimétrico onde
e
não são paralelos (demonstrativo passo a passo):
- Considere os momentos principais diferentes (corpo assimétrico)
(em unidades quaisquer, só para exemplo). Escolha uma velocidade angular com duas componentes não nulas:
- Em eixos principais a relação é
. Calculando:
- Para verificar se são paralelos, teste se existe
tal que . Isso exigiria e ao mesmo tempo, o que é impossível. Outra verificação prática é calcular o produto vetorial:
Como
, os vetores não são colineares — portanto não são paralelos. Este é um exemplo claro e simples mostrando que, para um corpo com momentos de inércia diferentes e uma rotação que não está ao longo de um eixo principal,
e
não coincidem em direção.
Passo 6
Resumo físico-intuitivo e dicas de prova (para você usar na hora):
- Intuição: o tensor de inércia é a “matriz” que transforma velocidade angular em momento angular; se ele for anisotrópico (valores diferentes nas direções), ele muda as componentes de
de maneira desigual, inclinando em relação a . - Dicas para prova: ao ver uma pergunta sobre alinhamento de
e , pense imediatamente em duas coisas: - Está a rotação ao redor de um eixo principal? (se sim, então são paralelos)
- O corpo é esférico? (se sim, sempre paralelos)
Caso contrário, não presuma paralelismo — um contraexemplo com componentes diferentes nos momentos de inércia ecom mais de uma componente resolve a questão rapidamente.
Resposta
Não —
e
não são sempre paralelos.
Exemplos:
Exemplos:
- Corpo simétrico (cilindro) girando em torno do eixo de simetria:
paralelo a . - Corpo assimétrico com
e : , que não é paralelo a (pois ).