Um disco de moagem tem raio de 0,12 \mathrm{~m} e massa 2,5 \mathrm{~kg}. É aplicado um torque de frenagem constante para pará-lo em 15 s quando ele estava a 1500 rpm . Qual a magnitude desse torque?

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Raio do disco: R=0,12\\ \mathrm{m}.
    • Massa do disco: m=2,5\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade angular inicial dada em rotações por minuto: 1500\\ \mathrm{rpm}.
    • Tempo para parar: t=15\\ \mathrm{s}.
  • O que é pedido:
    • A magnitude do torque de frenagem constante que faz o disco parar em 15\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro precisamos converter a velocidade angular inicial de rotações por minuto para radianos por segundo, porque as equações de dinâmica rotacional usam rad/s.
  • Converter 1500\\ \mathrm{rpm} para revoluções por segundo: 1500\\ \mathrm{rpm} = \frac{1500}{60}\\ \mathrm{rev/s} = 25\\ \mathrm{rev/s}.
  • Cada revolução corresponde a 2\pi radianos, então a velocidade angular inicial \omega_0 é \omega_0 = 25\cdot 2\pi = 50\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor numérico aproximado: \omega_0 \approx 50\pi \approx 157,08\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação curta: rpm é “rotações por minuto”; dividir por 60 dá rotações por segundo; multiplicar por 2\pi transforma revoluções em radianos.

Passo 3

Agora precisamos do momento de inércia I do disco (sólido e homogêneo). A fórmula conhecida para um disco de massa m e raio R girando em torno do eixo central é:
I = \frac{1}{2}\,mR^2.
Aqui:
  • I tem unidade \mathrm{kg\cdot m^2}.
  • A fórmula vem da integração da massa distribuída no disco, mas na prova memorize que disco sólido tem I=\tfrac{1}{2}mR^2.
Calculemos com os números dados:
  • Primeiro R^2: R^2 = (0,12)^2 = 0,0144\\ \mathrm{m^2}.
  • Então I = \frac{1}{2}\cdot 2,5\cdot 0,0144 = 0,018\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

Com I e \omega_0 podemos achar a aceleração angular constante (no caso desaceleração) necessária para parar em t=15\\ \mathrm{s}.
A relação entre aceleração angular \alpha, velocidade angular inicial \omega_0, velocidade angular final \omega_f e tempo t (para aceleração constante) é
\omega_f = \omega_0 + \alpha t.
Aqui \omega_f=0 (parado), logo
0 = \omega_0 + \alpha t \quad\Rightarrow\quad \alpha = -\frac{\omega_0}{t}.
Substituindo os valores:
\alpha = -\frac{50\pi}{15} = -\frac{10}{3}\pi\\ \mathrm{rad/s^2}.
Valor numérico aproximado:
\alpha \approx -10,47197\\ \mathrm{rad/s^2}.
Explicação curta: o sinal negativo indica que é desaceleração; para a magnitude do torque usaremos o valor absoluto de \alpha.

Passo 5

A relação entre torque resultante \tau, momento de inércia I e aceleração angular \alpha é análoga a F=ma na translação:
\tau = I\alpha.
Queremos a magnitude do torque de frenagem, então usamos |\tau| = I\,|\alpha|.
Substituindo os valores numéricos:
|\tau| = 0,018\cdot 10,47197\\ \mathrm{N\cdot m}.
Calcule:
|\tau| \approx 0,188495\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando de forma razoável (dados iniciais têm cerca de 2–3 algarismos significativos), podemos dar
|\tau| \approx 0,189\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Cheque rápido de unidades: I em \mathrm{kg\cdot m^2} vezes \alpha em \mathrm{rad/s^2} \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}=\mathrm{N\cdot m}, que é a unidade correta para torque. Tudo consistente.
Força extra de ânimo: ótimo — já conseguimos transformar rpm em rad/s, usar momento de inércia de disco e aplicar \tau=I\alpha. Está pronto para aplicar esse padrão em outras questões semelhantes!

Resposta

0,189\\ \mathrm{N\cdot m}

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