Um torque variável \tau(t)=3 t+2 t^{2} (SI) é aplicado a um objeto com I=5,0 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}. Se ele parte do repouso, qual sua velocidade angular em t=2,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dado: o torque variável é \tau(t)=3\,t+2\,t^{2} (SI).
  • Dado: o momento de inércia é I=5,0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
  • Condição inicial: parte do repouso, ou seja \omega(0)=0.
  • Pedido: encontrar a velocidade angular em t=2,0\\ \mathrm{s}, isto é \omega(2,0\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Relação entre torque e aceleração angular — explicação didática.
  • Física/ideia usada: o torque resultante aplicado a um corpo rígido produz uma aceleração angular. A relação é
\tau(t)=I\,\alpha(t).
Aqui:
  • \tau(t) é o torque em função do tempo (unidade: \mathrm{N\cdot m});
  • I é o momento de inércia (unidade: \mathrm{kg\cdot m^{2}});
  • \alpha(t) é a aceleração angular (unidade: \mathrm{rad/s^{2}}).
  • Desta relação isolamos a aceleração angular:
\alpha(t)=\frac{\tau(t)}{I}.
Isto significa que, a cada instante, a aceleração angular é o torque naquele instante dividido pelo momento de inércia.

Passo 3

Calcular explicitamente \alpha(t) usando os dados.
  • Substituindo \tau(t)=3\,t+2\,t^{2} e I=5,0:
\alpha(t)=\frac{3\,t+2\,t^{2}}{5,0}.
  • Unidade confirmada: o numerador tem unidade \mathrm{N\cdot m}, dividindo por I \mathrm{rad/s^{2}}, como esperado.

Passo 4

Ligar aceleração angular com velocidade angular e montar a integral — explicação didática.
  • Definição: a aceleração angular é a derivada da velocidade angular:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
  • Para obter \omega(t) a partir de \alpha(t) integramos no tempo:
\omega(t)=\omega(0)+\int_{0}^{t}\alpha(t')\,dt'.
  • Como \omega(0)=0 (parte do repouso), temos
\omega(t)=\int_{0}^{t}\alpha(t')\,dt'=\frac{1}{I}\int_{0}^{t}\tau(t')\,dt'.
Isto é prático: integrar o torque no tempo e dividir por I.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao caso concreto e calcular a integral passo a passo.
  • Escrever a expressão para t=2,0\\ \mathrm{s}:
\omega(2,0)=\frac{1}{5,0}\int_{0}^{2,0}\!\bigl(3\,t+2\,t^{2}\bigr)\,dt.
  • Calcular a integral termo a termo. Primeiro as primitivadas:
    • \displaystyle \int 3\,t\,dt = \frac{3}{2}\,t^{2}.
    • \displaystyle \int 2\,t^{2}\,dt = \frac{2}{3}\,t^{3}.
  • Assim a integral definida é
\int_{0}^{2,0}\!\bigl(3\,t+2\,t^{2}\bigr)\,dt = \left[\frac{3}{2}\,t^{2}+\frac{2}{3}\,t^{3}\right]_{0}^{2,0}.
  • Avaliando em t=2,0:
    • \displaystyle \frac{3}{2}\,(2,0)^{2}=\frac{3}{2}\cdot 4=6.
    • \displaystyle \frac{2}{3}\,(2,0)^{3}=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}\approx 5,333\ldots.
  • Somando:
\int_{0}^{2,0}\!\bigl(3\,t+2\,t^{2}\bigr)\,dt = 6+\frac{16}{3}=\frac{34}{3}.
  • Agora dividir por I=5,0:
\omega(2,0)=\frac{1}{5,0}\cdot\frac{34}{3}=\frac{34}{15}.

Passo 6

Converter para número decimal e interpretar o resultado.
  • Fração exata obtida:
\omega(2,0)=\frac{34}{15}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Em decimal (aproximação):
\omega(2,0)\approx 2,27\\ \mathrm{rad/s}.
  • Interpretação rápida: depois de 2,0\\ \mathrm{s} o corpo gira com velocidade angular aproximadamente 2,27\\ \mathrm{rad/s} por causa do torque que aumentou no tempo conforme dado.

Resposta

\omega(2,0)=\dfrac{34}{15}\\ \mathrm{rad/s}\approx 2,27\\ \mathrm{rad/s}

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