Um torque variável
(SI) é aplicado a um objeto com
. Se ele parte do repouso, qual sua velocidade angular em
?
Passo 1
Liste clara do que o enunciado dá e do que pede.
- Dado: o torque variável é
(SI). - Dado: o momento de inércia é
. - Condição inicial: parte do repouso, ou seja
. - Pedido: encontrar a velocidade angular em
, isto é .
Passo 2
Relação entre torque e aceleração angular — explicação didática.
- Física/ideia usada: o torque resultante aplicado a um corpo rígido produz uma aceleração angular. A relação é
Aqui:
-
é o torque em função do tempo (unidade: ); -
é o momento de inércia (unidade: ); -
é a aceleração angular (unidade: ). - Desta relação isolamos a aceleração angular:
Isto significa que, a cada instante, a aceleração angular é o torque naquele instante dividido pelo momento de inércia.
Passo 3
Calcular explicitamente
usando os dados.
- Substituindo
e :
- Unidade confirmada: o numerador tem unidade
, dividindo por dá , como esperado.
Passo 4
Ligar aceleração angular com velocidade angular e montar a integral — explicação didática.
- Definição: a aceleração angular é a derivada da velocidade angular:
- Para obter
a partir de integramos no tempo:
- Como
(parte do repouso), temos
Isto é prático: integrar o torque no tempo e dividir por
.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao caso concreto e calcular a integral passo a passo.
- Escrever a expressão para
:
- Calcular a integral termo a termo. Primeiro as primitivadas:
-
. -
.
-
- Assim a integral definida é
- Avaliando em
: -
. -
.
-
- Somando:
- Agora dividir por
:
Passo 6
Converter para número decimal e interpretar o resultado.
- Fração exata obtida:
- Em decimal (aproximação):
- Interpretação rápida: depois de
o corpo gira com velocidade angular aproximadamente por causa do torque que aumentou no tempo conforme dado.