Calcule a integral indefinida:
\int x^{3} \cos \left(x^{4}+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx.
Esse tipo de integral sugere usar a técnica de substituição para tratar a parte interna x^4+2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{4} + 2.
Diferenciando, obtemos
du = 4\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \tfrac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\Bigl(\tfrac{1}{4}\,du\Bigr) = \tfrac{1}{4}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \cos(u)\,du = \sin(u),
portanto
\tfrac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \tfrac{1}{4}\sin(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{4} + 2 e obtemos a primitiva final
\tfrac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C

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