Considere uma barra uniforme e fina de massa M e comprimento 2 a, situada sobre o eixo 0 z entre z=-a e z=+a. (a) Qual o potencial em um ponto P ao longo do eixo 0 x ? (b) Encontre a força de atração gravitacional sobre uma massa puntual m colocada nesse ponto P. (c) Qual a expressão de tal força se o comprimento da barra tende ao infinito? E se o comprimento da barra tende a zero?

Passo 1

O enunciado descreve uma barra fina e uniforme de massa M e comprimento 2a, alinhada no eixo Oz de z=-a até z=+a. Queremos:
(a) o potencial gravitacional phi(x) num ponto P sobre o eixo Ox a uma distância x da origem;
(b) a força gravitacional sobre uma massa de prova m colocada em P;
(c) os limites dessa força quando atoinfty (barra infinita) e ato0 (barra tende a um ponto).
Para isso vamos usar a expressão diferencial do potencial
dphi = -G,dmr
com dm=lambda,dz e lambda=M/(2a), integrando z de -a a +a.

Passo 2

Cálculo do potencial phi(x).
A distância de um elemento dz ao ponto P é
r=raizx^2+z^2,,
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phi(x) =integral dphi =-Gintegral-a^alambda,dzraizx^2+z^2 =-Glambdaintegral-a^adzraizx^2+z^2,
Sabemos que
integraldzraizx^2+z^2 =ln!l(z+raizx^2+z^2r)|-a^a =ln!raizx^2+a^2+araizx^2+a^2-a,
Substituindo lambda=M/(2a), obtêm-se
boxed phi(x) =-G,M2a, ln!l(raizx^2+a^2+araizx^2+a^2-ar) ,

Passo 3

Cálculo da força F sobre a massa m.
A força é F=-m,phi'(x), x. Derivando
phi'(x) =-G M2a;ddxl[ln!raizx^2+a^2+araizx^2+a^2-ar] = G M,xx^2raizx^2+a^2 =G Mxraizx^2+a^2,,
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boxed F =-m,phi'(x), x =-G,M,mxraizx^2+a^2; x ,

Passo 4

Limite atoinfty (barra infinita).
Mantendo lambda=M/(2a) finita, para atoinfty tem-se
F approx -G,(2alambda),mx,a, x =-2,G,lambda,mx, x,,
que é o resultado clássico de uma linha infinita de massa.

Passo 5

Limite ato0 (barra vira ponto em O).
Para ato0 a barra concentra-se em O com massa M fixa, e
F =-G,M,mxraizx^2+0^2, x =-G,M,mx^2, x,,
isto é, a lei de Newton para ponto-massa.

Resposta

(a) phi(x)=-G,M2a,ln!l(raizx^2+a^2+araizx^2+a^2-ar).
(b) F=-G,M,mxraizx^2+a^2; x.
(c) Para atoinfty: F=-2,G,lambda,mx, x com lambda=M/(2a). Para ato0: F=-G,M,mx^2, x.

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