Considere uma barra uniforme e fina de massa e comprimento , situada sobre o eixo entre e . (a) Qual o potencial em um ponto ao longo do eixo ? (b) Encontre a força de atração gravitacional sobre uma massa puntual colocada nesse ponto . (c) Qual a expressão de tal força se o comprimento da barra tende ao infinito? E se o comprimento da barra tende a zero?
Passo 1
O enunciado descreve uma barra fina e uniforme de massa e comprimento , alinhada no eixo de até . Queremos:
(a) o potencial gravitacional num ponto sobre o eixo a uma distância da origem;
(b) a força gravitacional sobre uma massa de prova colocada em ;
(c) os limites dessa força quando (barra infinita) e (barra tende a um ponto).
Para isso vamos usar a expressão diferencial do potencial
com e , integrando de a .
Passo 2
Cálculo do potencial .
A distância de um elemento ao ponto é
Cálculo da força F sobre a massa m.
A força é F=-m,phi'(x), x. Derivando
phi'(x) =-G M2a;ddxl[ln!raizx^2+a^2+araizx^2+a^2-ar] = G M,xx^2raizx^2+a^2 =G Mxraizx^2+a^2,,
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boxed F =-m,phi'(x), x =-G,M,mxraizx^2+a^2; x ,
Passo 4
Limite atoinfty (barra infinita).
Mantendo lambda=M/(2a) finita, para atoinfty tem-se
F approx -G,(2alambda),mx,a, x =-2,G,lambda,mx, x,,
que é o resultado clássico de uma linha infinita de massa.
Passo 5
Limite ato0 (barra vira ponto em O).
Para ato0 a barra concentra-se em O com massa M fixa, e
F =-G,M,mxraizx^2+0^2, x =-G,M,mx^2, x,,
isto é, a lei de Newton para ponto-massa.
Resposta
(a) phi(x)=-G,M2a,ln!l(raizx^2+a^2+araizx^2+a^2-ar).
(b) F=-G,M,mxraizx^2+a^2; x.
(c) Para atoinfty: F=-2,G,lambda,mx, x com lambda=M/(2a). Para ato0: F=-G,M,mx^2, x.