Considere um disco uniforme fino de massa
e raio
. (a) Encontre o potencial em um ponto
localizado ao longo do eixo
que passa perpendicularmente ao disco e em seu centro. (b) Encontre a força resultante sobre uma massa puntual
colocada nesse ponto P . (c) Qual a expressão de tal força se o raio do disco tende ao infinito? E se o raio do disco tende a zero?
Passo 1
O enunciado trata de um disco delgado e uniforme de massa
e raio
. Queremos (a) o potencial gravitacional
em um ponto
sobre o eixo perpendicular ao disco, a uma distância
do seu centro; (b) a força resultante sobre uma massa pontual
em
; (c) os limites dessa força quando
e
. Para resolver, vamos usar o princípio da superposição e integrar anéis de massa do disco.
Passo 2
Escolhemos coordenadas com o disco no plano
e
em
,
. A densidade superficial vale
. Um anel de raio
e largura
tem massa
e contribui para o potencial em
com
Para obter
, integramos
de
a
.
Passo 3
Calculamos a integral:
Substituindo
, obtém-se
Passo 4
A força na direção
sobre a massa
é
Derivando
logo
A orientação negativa indica atração em direção ao disco.
Passo 5
Agora fazemos os limites:
-
, mantendo constante. Então
, de modo que
que é a força constante de um plano infinito.
-
com fixo. Expandindo
, temos
e
ou seja, o disco vira massa pontual.
Resposta
(a)
\n
(b) atraindo para o disco.\n
(c) Para :
(plano infinito). Para
:
(massa pontual).
(b)
(c) Para