Considere um disco uniforme fino de massa M e raio a. (a) Encontre o potencial em um ponto P localizado ao longo do eixo 0 z que passa perpendicularmente ao disco e em seu centro. (b) Encontre a força resultante sobre uma massa puntual m colocada nesse ponto P . (c) Qual a expressão de tal força se o raio do disco tende ao infinito? E se o raio do disco tende a zero?

Passo 1

O enunciado trata de um disco delgado e uniforme de massa M e raio a. Queremos (a) o potencial gravitacional varphi(z) em um ponto P sobre o eixo perpendicular ao disco, a uma distância z do seu centro; (b) a força resultante sobre uma massa pontual m em P; (c) os limites dessa força quando atoinfty e ato0. Para resolver, vamos usar o princípio da superposição e integrar anéis de massa do disco.

Passo 2

Escolhemos coordenadas com o disco no plano xy e P em (0,0,z), z>0. A densidade superficial vale sigma = dfracMpi a^2. Um anel de raio r e largura dr tem massa
dM = sigma,(2pi r,dr)
e contribui para o potencial em P com
dvarphi = -G,dMraizr^2+z^2 = -G,2pisigma,r,drraizr^2+z^2
Para obter varphi(z), integramos r de 0 a a.

Passo 3

Calculamos a integral:
varphi(z) = -2pi Gsigma integral0^ar,drraizr^2+z^2 = -2pi Gsigmal[raizr^2+z^2r]0^a = -2pi Gsigmal(raiza^2+z^2-zr)
Substituindo sigma=M/(pi a^2), obtém-se
boxedvarphi(z) = -2GMa^2,l(raiza^2+z^2-zr)

Passo 4

A força na direção z sobre a massa m é
Fz = -,m,dvarphidz
Derivando
dvarphidz = -2GMa^2l(zraiza^2+z^2 -1r),
logo
Fz = -ml[-2GMa^2l(zraiza^2+z^2-1r)r] = -2GMma^2l(1-zraiza^2+z^2r)
A orientação negativa indica atração em direção ao disco.

Passo 5

Agora fazemos os limites:
  1. atoinfty, mantendo sigma constante. Então
    dfraczraiza^2+z^2to0, de modo que
Fz;longrightarrow;-2GMma^2 ;stackrelM/(pi a^2)=sigma=; -2pi Gsigma,m,
que é a força constante de um plano infinito.
  1. ato0 com M fixo. Expandindo
    raiza^2+z^2=z+dfraca^22z+cdots, temos
varphi(z)approx -2GMa^2a^22z=-GMz,
e
Fzapprox -GMmz^2,
ou seja, o disco vira massa pontual.

Resposta

(a) varphi(z)=-2GMa^2l(raiza^2+z^2-zr)\n
(b) Fz=-2GMma^2l(1-zraiza^2+z^2r), atraindo para o disco.\n
(c) Para atoinfty: Fzto -2pi Gsigma,m (plano infinito). Para ato0: Fzto -dfracGMmz^2 (massa pontual).

Exercícios relacionados