Considere que a Terra seja uma esfera de densidade uniforme, com raio igual a e massa , calcule a intensidade do campo gravitacional e o potencial gravitacional em todos os pontos no interior e no exterior da Terra, considerando o potencial nulo numa distância infinita. Calcule também a velocidade de escape.
Passo 1
O enunciado pede para achar o campo gravitacional (intensidade) e o potencial gravitacional num corpo esférico de raio , massa total e densidade uniforme, tanto para pontos interiores () quanto exteriores (), tomando . Depois, calcular a velocidade de escape a partir da superfície. Vamos usar a simetria esférica do problema, a ideia de massa contida em raio e integração de para obter .
Passo 2
Para a massa contida dentro de uma esfera de raio é proporcional ao volume:
Como o campo gravitacional obedece à “Lei de Gauss” newtoniana, a intensidade em módulo é
sempre apontando radialmente para dentro.
Passo 3
Para toda a massa age como se estivesse concentrada no centro, logo
também dirigida radialmente para dentro.
Passo 4
O potencial exterior para vem de integrar de infinito até :
Passo 5
Para usamos continuidade de em e integramos de até :
Reorganizando,
Passo 6
Resumindo, os resultados são:
]
Passo 7
A velocidade de escape ve a partir da superfície r=a satisfaz