Considere que a Terra seja uma esfera de densidade uniforme, com raio igual a a e massa M, calcule a intensidade do campo gravitacional e o potencial gravitacional em todos os pontos no interior e no exterior da Terra, considerando o potencial nulo numa distância infinita. Calcule também a velocidade de escape.

Passo 1

O enunciado pede para achar o campo gravitacional g(r) (intensidade) e o potencial gravitacional phi(r) num corpo esférico de raio a, massa total M e densidade uniforme, tanto para pontos interiores ( r<a) quanto exteriores ( r>= a), tomando phi(infty)=0. Depois, calcular a velocidade de escape a partir da superfície. Vamos usar a simetria esférica do problema, a ideia de massa contida em raio r e integração de g(r) para obter phi(r).

Passo 2

Para r<a a massa contida dentro de uma esfera de raio r é proporcional ao volume:
M(r)=Mtfrac4pi r^33tfrac4pi a^33 =Mr^3a^3
Como o campo gravitacional obedece à “Lei de Gauss” newtoniana, a intensidade em módulo é
g(r)=G,M(r)r^2 =G,Ma^3;r,
sempre apontando radialmente para dentro.

Passo 3

Para r>= a toda a massa M age como se estivesse concentrada no centro, logo
g(r)=G,Mr^2,
também dirigida radialmente para dentro.

Passo 4

O potencial exterior phi(r) para r>= a vem de integrar -g(r) de infinito até r:
phi(r)=-integralinfty^rG,Ms^2,ds =-G,Mr

Passo 5

Para r<a usamos continuidade de phi em r=a e integramos -g(r) de a até r:
phi(r)=phi(a)-integrala^rG,Ma^3,s,ds =-G,Ma -G,M2,a^3l(r^2-a^2r)
Reorganizando,
phi(r)=-G,M2,a^3l(3a^2-r^2r)

Passo 6

Resumindo, os resultados são:
g(r)= dfracG,Ma^3,r,&r<a,[1em] dfracG,Mr^2,&r>= a, phi(r)= -dfracG,M2,a^3l(3a^2-r^2r),&r<a,[0.7em] -dfracG,Mr,&r>= a ]

Passo 7

A velocidade de escape ve a partir da superfície r=a satisfaz
tfrac12,ve^2=-l[phi(infty)-phi(a)r] =-l[0-(-tfracG,Ma)r] =G,Ma,
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ve=raiz2,G,Ma

Resposta

Para um corpo uniforme de raio a e massa M:
g(r)= dfracG,Ma^3,r,&r<a,[0.5em] dfracG,Mr^2,&r>= a, phi(r)= -dfracG,M2,a^3l(3a^2-r^2r),&r<a,[0.7em] -dfracG,Mr,&r>= a,
e a velocidade de escape da superfície é
ve=raiz2,G,Ma ]

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