Considere uma barragem cuja superficie de contato com a água é plana, com largura de 200 m . represada está no nível de 4,4 m.
Adote a gravidade local como 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e a água como um fluido incompressível de densidade 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
** Resposta em 10^{6} \mathrm{~N}, com duas casas decimais.
Resposta:

Calcule a força total sobre a barragem devido apenas à pressão da água (desprezando a pressão atmosférica local), quando a água

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Vou listar tudo para você não se perder:
  • Largura da superfície da barragem (comprimento paralelo à crista): 200\\ \mathrm{m}.
  • Nível da água (profundidade): 4,4\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Densidade da água: 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Deve-se desprezar a pressão atmosférica (ou seja, calcular apenas a pressão hidrostática da água).
  • Pedido: calcular a força total sobre a barragem devida apenas à pressão da água. A resposta deve ser dada em 10^{6}\\ \mathrm{N}, com duas casas decimais.

Passo 2

Entendendo a física básica (aulas rápidas e sem enrolação):
  • A pressão hidrostática a uma profundidade y medida a partir da superfície livre é dada por
p(y)=\rho g y,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}});
  • y é a profundidade (em \mathrm{m}), ou seja, a distância vertical da superfície livre até o ponto onde avaliamos a pressão.
  • Essa fórmula vem do fato de que o peso da coluna de fluido acima de uma área unitária cria a pressão; a pressão cresce linearmente com a profundidade.

Passo 3

Como transformar pressão em força (o que a questão pede):
  • A força sobre uma pequena área dA é dF = p\,dA.
  • Para uma superfície plana vertical e retangular (como a barragem descrita), é natural usar uma coordenada vertical y que vai de 0 (superfície livre) até h (fundo), com h=4,4\\ \mathrm{m}.
  • A largura (horizontal, na direção perpendicular à profundidade) da barragem é w=200\\ \mathrm{m}. Um elemento de área horizontal infinitesimal pode ser escrito como
dA = w\,dy.

Passo 4

Montando a integral para a força total:
  • Substituindo p(y)=\rho g y e dA=w\,dy na expressão dF=p\,dA, obtemos
dF = \rho g y \cdot w\,dy.
  • A força total é a soma (integral) desses dF desde y=0 até y=h:
F = \int_{0}^{h} \rho g w\, y\, dy.

Passo 5

Resolvendo a integral simbolicamente (passo de cálculo que você pode fazer na prova):
  • Como \rho, g e w são constantes, podemos tirá-las da integral:
F = \rho g w \int_{0}^{h} y\,dy.
  • A integral de y é \tfrac{1}{2}y^{2}, logo
F = \rho g w \cdot \frac{1}{2} h^{2}.
  • Esta é uma fórmula simples e muito usada: força sobre uma face retangular vertical imersa até profundidade h
F=\frac{1}{2}\rho g w h^{2}.

Passo 6

Conversões numéricas importantes (para evitar erro bobo):
  • A densidade dada é \displaystyle 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Em unidades SI:
1\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Vamos então usar \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}, w=200\\ \mathrm{m}, h=4,4\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Substituindo os números na fórmula e calculando passo a passo:
  • Fórmula:
F=\frac{1}{2}\rho g w h^{2}.
  • Primeiro calcule h^{2}:
h^{2} = (4,4)^{2} = 19,36\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Metade disso:
\frac{1}{2}h^{2} = 9,68\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora \rho g w:
\rho g w = 1000 \cdot 9,8 \cdot 200.
Calcule em partes: 9,8\cdot200=1960 e 1000\cdot1960=1\,960\,000.
  • Multiplicando:
F = 1\,960\,000 \times 9,68 = 18\,972\,800\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Expressando o resultado na unidade pedida e arredondando:
  • Em unidades de 10^{6}\\ \mathrm{N} dividimos por 1{,}0\times10^{6}:
F = 18{,}9728\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando para duas casas decimais (no formato pedido):
F \approx 18{,}97\times10^{6}\\ \mathrm{N}.

Resposta

18{,}97\times10^{6}\\ \mathrm{N}

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