Considere uma barragem cuja superficie de contato com a água é plana, com largura de 200 m . represada está no nível de 4,4 m.
Adote a gravidade local como
, e a água como um fluido incompressível de densidade
.
** Resposta em
, com duas casas decimais.
Resposta:
□
Calcule a força total sobre a barragem devido apenas à pressão da água (desprezando a pressão atmosférica local), quando a água
Adote a gravidade local como
** Resposta em
Resposta:
□
Calcule a força total sobre a barragem devido apenas à pressão da água (desprezando a pressão atmosférica local), quando a água
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Vou listar tudo para você não se perder:
- Largura da superfície da barragem (comprimento paralelo à crista):
. - Nível da água (profundidade):
. - Aceleração da gravidade:
. - Densidade da água:
. - Deve-se desprezar a pressão atmosférica (ou seja, calcular apenas a pressão hidrostática da água).
- Pedido: calcular a força total sobre a barragem devida apenas à pressão da água. A resposta deve ser dada em
, com duas casas decimais.
Passo 2
Entendendo a física básica (aulas rápidas e sem enrolação):
- A pressão hidrostática a uma profundidade
medida a partir da superfície livre é dada por
onde:
-
é a densidade do fluido (em ); -
é a aceleração da gravidade (em ); -
é a profundidade (em ), ou seja, a distância vertical da superfície livre até o ponto onde avaliamos a pressão. - Essa fórmula vem do fato de que o peso da coluna de fluido acima de uma área unitária cria a pressão; a pressão cresce linearmente com a profundidade.
Passo 3
Como transformar pressão em força (o que a questão pede):
- A força sobre uma pequena área
é . - Para uma superfície plana vertical e retangular (como a barragem descrita), é natural usar uma coordenada vertical
que vai de (superfície livre) até (fundo), com . - A largura (horizontal, na direção perpendicular à profundidade) da barragem é
. Um elemento de área horizontal infinitesimal pode ser escrito como
Passo 4
Montando a integral para a força total:
- Substituindo
e na expressão , obtemos
- A força total é a soma (integral) desses
desde até :
Passo 5
Resolvendo a integral simbolicamente (passo de cálculo que você pode fazer na prova):
- Como
, e são constantes, podemos tirá-las da integral:
- A integral de
é , logo
- Esta é uma fórmula simples e muito usada: força sobre uma face retangular vertical imersa até profundidade
Passo 6
Conversões numéricas importantes (para evitar erro bobo):
- A densidade dada é
. Em unidades SI:
- Vamos então usar
, , , .
Passo 7
Substituindo os números na fórmula e calculando passo a passo:
- Fórmula:
- Primeiro calcule
:
- Metade disso:
- Agora
:
Calcule em partes:
e
.
- Multiplicando:
Passo 8
Expressando o resultado na unidade pedida e arredondando:
- Em unidades de
dividimos por :
- Arredondando para duas casas decimais (no formato pedido):