Um tubo sonoro, de comprimento \mathrm{L}=65,5 \mathrm{~cm} possui uma extremidade aberta e uma fechada. Um alto-falante próximo da extremidade aberta produz um som cuja frequência pode ser ajustada.
Se a frequência mais baixa para a qual a ressonância atingida for f=183,9 \mathrm{~Hz}, com que velocidade o som se propaga dentro do tubo? Apresente sua resposta em m/s, com duas casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá um tubo sonoro de comprimento L=65{,}5\\ \text{cm} com uma extremidade aberta e a outra fechada. Um alto-falante próximo da extremidade aberta produz som, e a menor frequência para a qual ocorre ressonância é f=183{,}9\\ \text{Hz}. A pergunta é: com que velocidade o som se propaga dentro do tubo? Devemos apresentar a resposta em \text{m/s} com duas casas decimais.

Passo 2

Vamos entender qualitativamente como funcionam os modos de ressonância nesse tubo (a explicação é importante para você reconstruir isso na prova). Num tubo com uma extremidade fechada e outra aberta temos:
  • na extremidade fechada a partícula do ar não pode oscilar (deslocamento zero), então ali ocorre um nó de deslocamento;
  • na extremidade aberta a partícula pode oscilar livremente, então ali ocorre um ventre (antinode) de deslocamento.
A distância entre um nó e um ventre é um quarto de comprimento de onda. Para que todo o tubo de comprimento L acomode um padrão estacionário permitido, o comprimento L deve ser um número ímpar de quartos de onda. Escrevendo isso:
L = \frac{(2k+1)\,\lambda}{4},\quad k=0,1,2,\dots
onde \lambda é o comprimento de onda do modo e k é um inteiro que identifica o modo (o menor modo corresponde a k=0). Reorganizando obtemos os comprimentos de onda permitidos:
\lambda = \frac{4L}{2k+1}.
Aqui cada 2k+1 é um número ímpar: 1,3,5,\dots. O menor comprimento de onda (maior frequência) não nos interessa agora; o menor modo (fundamental) corresponde a k=0, isto é 2k+1=1.

Passo 3

A relação geral entre velocidade v, frequência f e comprimento de onda \lambda é
f=\frac{v}{\lambda},
onde v é a velocidade do som no meio, f é a frequência e \lambda é o comprimento de onda. Para o modo fundamental ( k=0, menor frequência de ressonância) temos \lambda_1 = 4L. Substituindo em f=v/\lambda e resolvendo para v obtemos a fórmula prática que usaremos:
v = 4L f.
Aqui L deve estar em metros para que v saia em \text{m/s}, f em \text{Hz}.

Passo 4

Convertemos o comprimento dado em centímetros para metros:
L = 65{,}5\\ \text{cm} = \frac{65{,}5}{100}\\ \text{m} = 0{,}655\\ \text{m}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula v=4Lf com L=0{,}655\\ \text{m} e f=183{,}9\\ \text{Hz}:
v = 4 \times 0{,}655 \times 183{,}9.
Calculemos passo a passo a multiplicação.
0{,}655 \times 183{,}9 = \frac{183{,}9 \times 655}{1000} = \frac{120454{,}5}{1000} = 120{,}4545.
Agora multiplicamos por 4:
v = 4 \times 120{,}4545 = 481{,}818.
Arredondando para duas casas decimais obtemos:
v \approx 481{,}82\\ \text{m/s}.
Breve incentivo: deu trabalho, mas foi só aplicar a condição de nós/ventres e a relação v=f\lambda. Na prova, lembre-se: tubo aberto-fechado → comprimentos de onda ímpares de \lambda/4; menor frequência → modo com (2k+1)=1.

Resposta

481{,}82\\ \text{m/s}

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