(e) Não sei.
7. O conjunto das quádruplas que satisfazem -7 x_{3}+x_{4}=-3 pode ser representado por: (Aqui \mathcal{L}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} denota o espaço gerado pelos vetores \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}.)
(a) \left[\begin{array}{c}3 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ 11\end{array}\right]+\mathcal{L}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\\\ -4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(b) \left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ -17\end{array}\right]+\mathcal{L}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\\\ -5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(c) \left[\begin{array}{c}3 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ 11\end{array}\right]+\mathcal{L}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede a descrição do conjunto de quádruplas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que satisfazem
-7x_{3} + x_{4} = -3
como um ponto particular mais o espaço gerado por três vetores. Esse é um típico problema de espaço afim: a solução geral de \ell(x)=b é
x = x_{\text{part}} + \ker(\ell),
onde \ker(\ell) é a solução do homogêneo \ell(x)=0.

Passo 2

Primeiro encontramos o espaço homogêneo
\{\,x\in\mathbb{R}^{4}\mid -7x_{3}+x_{4}=0\}.
Parametrizando x_{1}=s, x_{2}=t, x_{3}=u, obtemos x_{4}=7u. Logo
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = s\,(1,0,0,0) \;+\; t\,(0,1,0,0) \;+\; u\,(0,0,1,7).
Assim
\ker(\ell)=\mathcal{L}\bigl\{(1,0,0,0),\;(0,1,0,0),\;(0,0,1,7)\bigr\}.

Passo 3

Precisamos de um vetor particular que satisfaça -7x_{3}+x_{4}=-3. Por simplicidade, tomemos x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0, logo x_{4}=-3. Assim
x_{\text{part}} = (0,0,0,-3).
O item (a) usa como particular (3,-3,2,11). Verificamos:
-7\cdot2 + 11 = -14 + 11 = -3,
logo também é um ponto da solução.

Passo 4

No item (a) a descrição é
(3,-3,2,11) \;+\; \mathcal{L}\bigl\{(0,0,1,7),\;(0,-4,0,0),\;(-4,0,0,0)\bigr\}.
Cada gerador deve satisfazer -7x_{3}+x_{4}=0. De fato:
-7\cdot1 + 7 = 0,\quad -7\cdot0 + 0 = 0,\quad -7\cdot0 + 0 = 0.
Além disso, eles são linearmente independentes e geram exatamente as direções livres em \ker(\ell). Portanto o item (a) descreve corretamente a solução afim.

Passo 5

Verificamos rapidamente os outros itens:
  • No (b), o vetor particular (-1,1,2,-17) falha em
-7\cdot2 + (-17) = -14 -17 = -31 \neq -3.
  • No (c), o gerador (0,0,7,1) falha em
-7\cdot7 + 1 = -49 + 1 = -48 \neq 0.
Logo apenas o item (a) está correto.

Resposta

(a)

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