Dadas duas bases alpha e beta de R^3 tais que
[I]beta^alpha=[ccc 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 ]
(a) Calcule [v]alpha sabendo-se que [v]beta=[c-1 2 3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular as coordenadas de um vetor v na base alpha , sabendo as coordenadas desse vetor na base beta . Estamos trabalhando com espaços vetoriais, especificamente com bases diferentes de R^3 . Para resolver isso, vamos usar a matriz de mudança de base [I]beta^alpha , que nos ajuda a converter coordenadas de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz de mudança de base [I]beta^alpha . Essa matriz faz a conversão das coordenadas de qualquer vetor da base beta para a base alpha . Ou seja, se temos as coordenadas de um vetor em beta , multiplicando pela matriz [I]beta^alpha conseguimos as coordenadas na base alpha .

Passo 3

Dado que [I]beta^alpha = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 e que as coordenadas de v na base beta são [v]beta = -1 2 3 , vamos multiplicar essa matriz pelas coordenadas de v na base beta para encontrar [v]alpha .

Passo 4

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
[v]alpha = [I]beta^alpha cdot [v]beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 cdot -1 2 3
Calculando cada componente:
  • Primeira linha: 1*(-1) + 1*2 + 0*3 = -1 + 2 + 0 = 1
  • Segunda linha: 0*(-1) + (-1)*2 + 1*3 = 0 -2 + 3 = 1
  • Terceira linha: 1*(-1) + 0*2 + (-1)*3 = -1 + 0 -3 = -4

Resposta

[v]alpha = 1 1 -4

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