Considere a base canônica de
. Construa, a partir dela, uma base ortonormal pelo processo de Gram-Schmidt considerando o seguinte produto escalar:
Esses polinômios são os polinômios de Legendre e descrevem a formas dos orbitais atômicos
, d… na descrição quântica do átomo de hidrogênio. Eles também descrevem os chamados multipolos elétricos, importantes para modelar sinais emitidos de uma fonte pontual, como uma antena.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt à base canônica
de
usando o produto escalar
de modo a obter uma base ortonormal. Os resultados serão justamente os polinômios de Legendre normalizados em
.
Passo 2
Começamos com
. Seu comprimento é
Então o primeiro vetor ortonormal é
Passo 3
Agora tomamos
e subtraímos a projeção em
:
pois
. Logo
Seu comprimento é
e o segundo vetor ortonormal é
Passo 4
Por fim,
. Subtraímos projeções em
e
:
Portanto
O comprimento de
é
logo o terceiro vetor ortonormal é
Resposta
Os polinômios ortonormais em
são