Considere a base canônica de P2(R): B=1, x, x^2. Construa, a partir dela, uma base ortonormal pelo processo de Gram-Schmidt considerando o seguinte produto escalar:
lang<= f, grang<==integral-1^1 f(x) g(x) d x
Esses polinômios são os polinômios de Legendre e descrevem a formas dos orbitais atômicos s, p, d… na descrição quântica do átomo de hidrogênio. Eles também descrevem os chamados multipolos elétricos, importantes para modelar sinais emitidos de uma fonte pontual, como uma antena.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt à base canônica
1,x,x^2 de P2( R) usando o produto escalar
lang<= f,grang<= = integral-1^1 f(x),g(x), d x,
de modo a obter uma base ortonormal. Os resultados serão justamente os polinômios de Legendre normalizados em [-1,1].

Passo 2

Começamos com u1(x)=1. Seu comprimento é
|u1| = raizlang<= 1,1rang<= = raizintegral-1^11cdot1, d x = raiz2
Então o primeiro vetor ortonormal é
e1(x) = u1(x)|u1| = 1raiz2

Passo 3

Agora tomamos u2(x)=x e subtraímos a projeção em e1:
lang<= x,e1rang<= = integral-1^1 xcdot1raiz2, d x = 0,
pois integral-1^1x, d x=0. Logo
v2(x)=x-0cdot e1(x)=x
Seu comprimento é
|v2| = raizintegral-1^1x^2, d x = raiztfrac23,
e o segundo vetor ortonormal é
e2(x) = v2(x)|v2| = xraiz2/3 = raiztfrac32;x

Passo 4

Por fim, u3(x)=x^2. Subtraímos projeções em e1 e e2:
lang<= x^2,e1rang<= = integral-1^1x^2cdot1raiz2, d x = 2/3raiz2, lang<= x^2,e2rang<= = integral-1^1x^2cdotraiztfrac32,x, d x =0
Portanto
v3(x) = x^2 - lang<= x^2,e1rang<=,e1(x) = x^2 - 2/3raiz2;1raiz2 = x^2 - 13
O comprimento de v3 é
|v3| = raizintegral-1^1l(x^2-tfrac13r)^2 d x = raiztfrac845,
logo o terceiro vetor ortonormal é
e3(x) = v3(x)|v3| = x^2 - tfrac13raiz8/45 = raiztfrac58l(3x^2-1r)

Resposta

Os polinômios ortonormais em [-1,1] são
e1(x) = 1raiz2, e2(x) = raiztfrac32;x, e3(x) = raiztfrac58,(3x^2-1)

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