Considere a matriz
A=[ccc 0 & -1 & 1 1 & 0 & 2 2 & 4 & 0 ]
(a) Otenha o polinômio característico e os autovalores da matriz A.
(b) Para cada autovalor, determine o autovetor associado.
(c) Verifique que os autovetores são LI e formam uma base para o R^3.
(d) Diagonalize a matriz A obtendo a sua representação na base composta pelos autovetores.
(e) Verifique que det(A) corresponde ao produto dos autovalores de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 0 & -1 & 1 1 & 0 & 2 2 & 4 & 0
e pede (a) o polinômio característico e os autovalores, (b) os autovetores, (c) checar que eles são LI e formam base de R^3, (d) diagonalizar A e (e) verificar que det(A) é o produto dos autovalores. Vamos usar determinantes, resolução de sistemas lineares e propriedades de autovetores.

Passo 2

Para obter o polinômio característico calculamos
det(A - lambda I) =det -lambda & -1 & 1 1 & -lambda & 2 2 & 4 & -lambda =-lambda^3+9lambda =-lambda(lambda-3)(lambda+3)
Assim os autovalores são
lambda1=0, lambda2=3, lambda3=-3

Passo 3

Para cada [\lambda) resolvemos :
  1. :
    daí . Escolhendo fica
  2. :
    leva a . Com temos
  3. :
    leva a . Com obtemos

Passo 4

Formamos a matriz P=[v1 v2 v3].
O determinante
det P =det -2&1&1 1&7&1 1&10&-2 =54neq0
mostra que v1,v2,v3 é LI e, por ter três vetores em R^3, é base.

Passo 5

Na base de autovetores P a matriz A fica diagonal. Definindo
D= 0&0&0 0&3&0 0&0&-3 ,
temos
A = P,D,P^-1

Passo 6

Como det(A)=det(P)det(D)det(P^-1)=det(D) e
det(D)=0cdot3cdot(-3)=0,
vem det(A)=0, que coincide com o produto dos autovalores.

Resposta

(a) p(lambda)=det(A-lambda I)=-lambda^3+9lambda=-lambda(lambda-3)(lambda+3), então lambda=0,3,-3.
(b) Autovetores correspondentes:
lambda=0mapsto(-2,1,1),
lambda=3mapsto(1,7,10),
lambda=-3mapsto(1,1,-2).
(c) Esses vetores são LI ( det P=54neq0) e formam base de R^3.
(d) Tomando P=[,v1 v2 v3,] e D=diag(0,3,-3), temos A=PDP^-1.
(e) det(A)=0cdot3cdot(-3)=0, igual ao produto dos autovalores.

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