Use propriedades da imagem e espaço nulo da matriz
A=[cc1 & 0 1 & 1 2 & 2 0 & -1]
para verificar a existência e unicidade de solução do sistema de equações lineares A x=y para os seguintes casos:
y=[llll1 & 0 & 0 & -1]^prime

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 1 & 1 2 & 2 0 & -1
e pede para usar propriedades de imagem e espaço nulo de A para verificar existência e unicidade de solução do sistema
A x = y
quando
y = 100-1
O conteúdo é espaço coluna (imagem) e espaço nulo de matrizes: vamos precisar do Teorema da Dimensão (posto mais nulidade) e da caracterização da existência l(yinIm(A)r) e da unicidade l(Nul(A)=0r).

Passo 2

Calculemos o posto de A. As colunas são
c1 = 1120, c2 = 012-1
Para ver se são linearly independentes, resolvemos alpha c1 + beta c2 = 0. A primeira equação dá alpha=0 e a segunda dá beta=0. Logo as colunas são independentes e
rank(A)=2
Pela relação dimensão–posto–nulidade em R^2, temos dimNul(A)=2-2=0. Assim Nul(A)=0, e o sistema, se tiver solução, terá solução única.

Passo 3

Para existir solução é preciso que
y in Im(A)
ou seja que y seja combinação linear de c1 e c2. Suponha
alpha c1 + beta c2 = y
Escrevendo coordenada a coordenada:
  1. alphacdot1 + betacdot0 = 1implies alpha=1
  2. alphacdot1 + betacdot1 = 0implies 1+beta=0implies beta=-1
  3. 2alpha + 2beta = 0implies 2cdot1+2cdot(-1)=0 (consistente).
  4. 0cdotalpha +(-1)beta = -1implies -(-1)=1neq -1 (inconsistente).

Passo 4

A condição na quarta coordenada falha ( 1neq -1), logo não existe par (alpha,beta) que produza y. Portanto
ynotinIm(A),
e o sistema A x = y é incompatível.

Resposta

O sistema não tem solução.

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