Use propriedades da imagem e espaço nulo da matriz
para verificar a existência e unicidade de solução do sistema de equações lineares
A x=y para os seguintes casos:
y=[llll2 & 3 & 6 & -1]^prime
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e o vetor
Precisamos usar as propriedades do espaço imagem (coluna) de
A para verificar se existe solução de
e do espaço nulo de
A para analisar a unicidade dessa solução.
Passo 2
Determinamos o posto de
A calculando a independência linear de suas colunas
Sejam
alpha,beta tais que
alpha c1+beta c2=0 . Da primeira linha vem
alpha=0 . Da segunda vem então
beta=0 . Logo
c1 e
c2 são independentes e
Como
A é
4times2 , temos
diml(ker(A)r)=2-2=0 , isto é,
ker(A)=0 . Portanto, caso exista solução, ela será única.
Passo 3
Para verificar a existência de solução, cheque se
y pertence à coluna de
A . Isto equivale a resolver
Passo 4
Da primeira equação obtemos
x1=2 . Substituindo na segunda ficamos
Verificamos que nas demais equações também se satisfaz
2cdot2+2cdot1=6 e
-1=-1 . Logo existe solução
x = l(2,1r)^prime e, portanto,
yinIm(A) .
Passo 5
Como
ker(A)=0 , não há liberdade para outras soluções. Concluímos que existe exatamente uma solução.
Resposta
O sistema
Ax=y tem solução única, dada por