Considere a base dada, obtenha uma base ortogonal e uma base ortonormal.
Passo 1
O enunciado nos dá uma base em
,
, e quer uma base ortogonal e depois uma ortonormal. O conteúdo é o processo de Gram–Schmidt usando o produto interno canônico e norma padrão.
Passo 2
Começamos definindo o primeiro vetor ortogonal
igual ao primeiro vetor da base original:
.
Passo 3
Para obter o segundo vetor ortogonal
, pegamos
e subtraímos sua projeção em
. Primeiro calculamos:
A projeção de
em
é
Então
Podemos escalar
por
para obter coordenadas inteiras sem perder a ortogonalidade:
. Verificamos
.
Passo 4
Assim, uma base ortogonal fica
Passo 5
Para a base ortonormal, dividimos cada vetor pela sua norma. Ambas as normas são
:
Resposta
Base ortogonal:
. Base ortonormal:
.