Considere a base dada, obtenha uma base ortogonal e uma base ortonormal.
(1,-3),(2,2)

Passo 1

O enunciado nos dá uma base em R^2, (1,-3),(2,2), e quer uma base ortogonal e depois uma ortonormal. O conteúdo é o processo de Gram–Schmidt usando o produto interno canônico e norma padrão.

Passo 2

Começamos definindo o primeiro vetor ortogonal u1 igual ao primeiro vetor da base original: u1=(1,-3).

Passo 3

Para obter o segundo vetor ortogonal u2, pegamos v2=(2,2) e subtraímos sua projeção em u1. Primeiro calculamos:
u1cdot u1 = 1^2+(-3)^2 = 10, v2cdot u1 = 2cdot1 + 2cdot(-3) = -4
A projeção de v2 em u1 é
proju1(v2)=v2cdot u1u1cdot u1,u1 = -410(1,-3)=l(-tfrac25,tfrac65r)
Então
u2 = v2 - proju1(v2) = (2,2) - l(-tfrac25,tfrac65r) = l( tfrac125, tfrac45 r)
Podemos escalar u2 por 5/4 para obter coordenadas inteiras sem perder a ortogonalidade: u2'=(3,1). Verificamos u1cdot u2'=1cdot3+(-3)cdot1=0.

Passo 4

Assim, uma base ortogonal fica
(1,-3),,(3,1)

Passo 5

Para a base ortonormal, dividimos cada vetor pela sua norma. Ambas as normas são raiz10:
e1=1raiz10(1,-3), e2=1raiz10(3,1)

Resposta

Base ortogonal: (1,-3),(3,1). Base ortonormal: (tfrac1raiz10,-tfrac3raiz10),(tfrac3raiz10,tfrac1raiz10).

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