Considere a base dada, obtenha uma base ortogonal e uma base ortonormal.
Passo 1
Resumo: A questão é aplicar o processo de Gram‐Schmidt em ℝ² na base {(1,0), (3,−5)} para obter primeiro uma base ortogonal e depois, normalizando, uma base ortonormal.
Passo 2
Vamos chamar v₁ = (1,0) e v₂ = (3,−5). No Gram‐Schmidt, definimos u₁ = v₁. Assim já temos o primeiro vetor ortogonal.
Passo 3
Agora calculamos u₂ = v₂ − proj_{u₁}(v₂). A projeção de v₂ sobre u₁ é dada por
Compute v₂·u₁ = 3·1 + (−5)·0 = 3 e u₁·u₁ = 1² + 0² = 1, então
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Passo 4
Concluímos que uma base ortogonal é {(1,0), (0,−5)}.
Passo 5
Para obter a base ortonormal basta normalizar cada vetor: – ||u₁|| = 1 → e₁ = (1,0). – ||u₂|| = 5 → e₂ = (0,−5)/5 = (0,−1).
Resposta
Base ortogonal: {(1,0), (0,−5)}; Base ortonormal: {(1,0), (0,−1)}.