Considere a base dada, obtenha uma base ortogonal e uma base ortonormal.
(1,0),(3,-5)

Passo 1

Resumo: A questão é aplicar o processo de Gram‐Schmidt em ℝ² na base {(1,0), (3,−5)} para obter primeiro uma base ortogonal e depois, normalizando, uma base ortonormal.

Passo 2

Vamos chamar v₁ = (1,0) e v₂ = (3,−5). No Gram‐Schmidt, definimos u₁ = v₁. Assim já temos o primeiro vetor ortogonal.

Passo 3

Agora calculamos u₂ = v₂ − proj_{u₁}(v₂). A projeção de v₂ sobre u₁ é dada por proju₁(v₂) = v₂cdot u₁u₁cdot u₁,u₁
Compute v₂·u₁ = 3·1 + (−5)·0 = 3 e u₁·u₁ = 1² + 0² = 1, então
proju₁(v₂) = 3,(1,0) = (3,0)
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u₂ = v₂ - proju₁(v₂) = (3,-5) - (3,0) = (0,-5)

Passo 4

Concluímos que uma base ortogonal é {(1,0), (0,−5)}.

Passo 5

Para obter a base ortonormal basta normalizar cada vetor: – ||u₁|| = 1 → e₁ = (1,0). – ||u₂|| = 5 → e₂ = (0,−5)/5 = (0,−1).

Resposta

Base ortogonal: {(1,0), (0,−5)}; Base ortonormal: {(1,0), (0,−1)}.

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