Dados os vetores a=(4,-3,1), b=(0,1,-1), então escreva a como uma soma dos vetores x, y tais que 0 neq x | b, y perp b e determine o ângulo alpha entre a e x.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor a=(4,-3,1) em
a=x+y
de modo que xneq0 seja paralelo a b=(0,1,-1) e y seja perpendicular a b. Em seguida, determinar o ângulo alpha entre a e x. Vamos usar projeção ortogonal e a fórmula de ângulo entre vetores.

Passo 2

Para obter x (a projeção de a sobre b) usamos
x ;=; acdotbbcdotb;b
Calculando os produtos internos:
acdotb=4cdot0+(-3)cdot1+1cdot(-1)=-4
bcdotb=0^2+1^2+(-1)^2=2
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x = -42,b = -2,(0,1,-1) = (0,-2,2)

Passo 3

Em seguida y=a-x, ou seja
y = (4,-3,1) - (0,-2,2) = (4,-1,-1)
E de fato
ycdotb=4cdot0+(-1)cdot1+(-1)cdot(-1)=0,
confirmando que yperpb.

Passo 4

Para o ângulo alpha entre a e x usamos
cosalpha = acdotx|a|;|x|
Aqui
acdotx=4cdot0+(-3)cdot(-2)+1cdot2=8,
|a|=raiz4^2+(-3)^2+1^2=raiz26,
|x|=2raiz2.
Portanto
cosalpha = 8raiz26,cdot,2raiz2 = 82raiz52 = 2raiz13,
e assim
alpha = arccosl(2/raiz13r).

Resposta

x=(0,-2,2), y=(4,-1,-1) e alpha=arccos!l(2/raiz13r).

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