Considere a base do \mathbb{R}^{3} formada por \alpha=\{(1,0,1),(1,-1,0),(1,1,1)\}, encontre a partir de \alpha uma base ortogonal do \mathbb{R}^{3}, considerando a ordem da base \alpha e usando o produto interno usual.

Passo 1

O enunciado dá a base \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} de \mathbb{R}^{3}, com
v_{1}=(1,0,1),\quad v_{2}=(1,-1,0),\quad v_{3}=(1,1,1),
e pede uma base ortogonal obtida a partir de \alpha usando o produto interno usual. Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt na ordem v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 2

Definimos
b_{1}=v_{1}=(1,0,1).
Este é o primeiro vetor ortogonal.

Passo 3

Para achar b_{2}, subtraímos de v_{2} sua projeção sobre b_{1}. A projeção é
\mathrm{proj}_{b_{1}}(v_{2}) =\frac{\langle v_{2},b_{1}\rangle}{\langle b_{1},b_{1}\rangle}\,b_{1} =\frac{1}{2}\,(1,0,1),
pois \langle v_{2},b_{1}\rangle=1 e \langle b_{1},b_{1}\rangle=2. Logo
b_{2} =v_{2}-\mathrm{proj}_{b_{1}}(v_{2}) =(1,-1,0)-\tfrac12(1,0,1) =\bigl(\tfrac12,-1,-\tfrac12\bigr).

Passo 4

Para achar b_{3}, subtraímos de v_{3} as projeções sobre b_{1} e sobre b_{2}:
\mathrm{proj}_{b_{1}}(v_{3}) =\frac{\langle v_{3},b_{1}\rangle}{\langle b_{1},b_{1}\rangle}\,b_{1} =1\cdot(1,0,1), \qquad \mathrm{proj}_{b_{2}}(v_{3}) =\frac{\langle v_{3},b_{2}\rangle}{\langle b_{2},b_{2}\rangle}\,b_{2} =-\tfrac{2}{3}\,b_{2}.
Aqui \langle v_{3},b_{1}\rangle=2, \langle b_{1},b_{1}\rangle=2, \langle v_{3},b_{2}\rangle=-1 e \langle b_{2},b_{2}\rangle=3/2. Então
b_{3} =v_{3}-\mathrm{proj}_{b_{1}}(v_{3})-\mathrm{proj}_{b_{2}}(v_{3}) =(1,1,1)-(1,0,1)-\bigl(-\tfrac{2}{3}b_{2}\bigr) =\bigl(\tfrac13,\tfrac13,-\tfrac13\bigr).

Passo 5

Para simplificar, podemos multiplicar b_{2} e b_{3} por escalares sem perder a ortogonalidade. Por exemplo:
b_{2}'=2\,b_{2}=(1,-2,-1), \qquad b_{3}'=3\,b_{3}=(1,1,-1).
Fica a base ortogonal desejada.

Resposta

\{(1,0,1),\;(1,-2,-1),\;(1,1,-1)\}

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