Seja P_{2} o espaço dos polinômiosde grau menor ou igual a 2 . Defina a seguinte operação em P_{2} :
<a x^{2}+b x+c, d x^{2}+e x+f>=a d+3 b e+c f-2 b f-2 e a .
Essa operação é um produto interno no espaço P_{2} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define em P_{2} o produto
\langle a x^{2}+b x+c,\,d x^{2}+e x+f\rangle = a d \;+\;3\,b e\;+\;c f\;-\;2\,b f\;-\;2\,e a.
Para ser produto interno, essa operação deve ser bilinear, simétrica e positiva-definida.

Passo 2

Testamos a simetria calculando \langle x,1\rangle e \langle1,x\rangle.
Para p(x)=x temos a=0, b=1, c=0; para q(x)=1 temos d=0, e=0, f=1.
\langle x,1\rangle =0\cdot0+3\cdot1\cdot0+0\cdot1-2\cdot1\cdot1-2\cdot0\cdot0 =-2.
Invertemos p e q: para p(x)=1 (a=0,b=0,c=1) e q(x)=x (d=0,e=1,f=0),
\langle1,x\rangle =0\cdot0+3\cdot0\cdot1+1\cdot0-2\cdot0\cdot0-2\cdot1\cdot0 =0.
Como \langle x,1\rangle=-2\neq0=\langle1,x\rangle, a operação não é simétrica.

Resposta

Não é produto interno, pois falha a propriedade de simetria.

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