Encontre o polinomio minimal da matriz
\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede o polinômio minimal de
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O polinômio minimal de uma matriz A é o polinômio monico de menor grau m(\lambda) tal que m(A)=0 e que divide o polinômio característico \chi_A(\lambda). Para achar m(\lambda), vamos (i) calcular \chi_A(\lambda), (ii) extrair seus autovalores e multiplicidades algébricas e geométricas, e (iii) determinar os expoentes no minimal com base nos blocos de Jordan.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico
\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\\\ 0 & 2-\lambda & 1\\\\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna tem zeros abaixo de (1-\lambda), faz-se
\chi_A(\lambda) = (1-\lambda)\,\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1\\\\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\bigl((2-\lambda)^2-1\bigr).
Expandindo,
(2-\lambda)^2-1 = \lambda^2 -4\lambda +3 = (\lambda-1)(\lambda-3),
logo, em forma monica,
\chi_A(\lambda) = (\lambda-1)^2(\lambda-3).

Passo 3

Dos fatores de \chi_A(\lambda) vemos que os autovalores são
\lambda=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda=3\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 4

Precisamos da multiplicidade geométrica de \lambda=1\), i.e.\ a dimensão do núcleo de \(A - I\). \[A - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
As equações (A - I)x = 0 são
\begin{cases} x_2 = 0,\\\ x_2 + x_3 = 0, \end{cases}
daqui x_2 = 0\], \(x_3 = 0, e x_1 livre. Logo o espaço próprio tem dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica 1 é menor que a algébrica 2, há um bloco de Jordan de tamanho 2 para \lambda = 1.

Passo 5

Para montar o polinômio minimal, incluímos cada fator (\lambda-\lambda_i) com expoente igual ao maior tamanho de bloco de Jordan para \lambda_i. Assim:
  • Para \lambda=1, bloco de tamanho 2 \Rightarrow fator (\lambda-1)^2.
  • Para \lambda=3, bloco de tamanho 1 \Rightarrow fator (\lambda-3).

Resposta

m(\lambda) = (\lambda - 1)^2(\lambda - 3).

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