Considere a base ortonormal |1\rangle,|2\rangle. O estado do sistema é
|\psi\rangle=A(|1\rangle+2|2\rangle)
(a) Determine a constante de normalização A.
(b) Calcule as probabilidades de medir os estados |1\rangle e |2\rangle.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com base ortonormal |1\rangle,|2\rangle e o estado
|\psi\rangle = A\bigl(|1\rangle + 2|2\rangle\bigr).
Pede-se:
(a) determinar a constante de normalização A;
(b) calcular as probabilidades de medir os estados |1\rangle e |2\rangle.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): um vetor-estado deve ser normalizado, ou seja
\langle\psi|\psi\rangle = 1.
Também vamos usar ortonormalidade da base, isto é \langle i|j\rangle = 0 se i\neq j e \langle i|i\rangle = 1.

Passo 3

Calcular \langle\psi|\psi\rangle explicitamente. Primeiro escrevemos
\langle\psi| = A^*\bigl(\langle1| + 2\langle2|\bigr),
onde A^* é o conjugado complexo de A. Portanto
\langle\psi|\psi\rangle = A^*A\bigl(\langle1|+2\langle2|\bigr)\bigl(|1\rangle+2|2\rangle\bigr).
Expandindo o produto interno e usando a ortonormalidade:
\langle\psi|\psi\rangle = |A|^2\bigl(\langle1|1\rangle + 2\langle1|2\rangle + 2\langle2|1\rangle + 4\langle2|2\rangle\bigr) = |A|^2(1 + 0 + 0 + 4) = 5|A|^2.

Passo 4

Impondo normalização \langle\psi|\psi\rangle=1 obtemos
5|A|^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad |A|^2 = \frac{1}{5}.
Isto determina o módulo de A. Como a normalização é única até uma fase global, podemos escolher a fase de A arbitrariamente. A escolha usual e simples é tomar A real e positivo:
A = \frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Agora as probabilidades de medir |1\rangle ou |2\rangle são dadas pela regra de Born: a probabilidade de obter |i\rangle é
P(i)=\bigl|\langle i|\psi\rangle\bigr|^2.
Calcule os amplitudes:
\langle1|\psi\rangle = A\bigl(\langle1|1\rangle + 2\langle1|2\rangle\bigr) = A(1+0)=A,
\langle2|\psi\rangle = A\bigl(\langle2|1\rangle + 2\langle2|2\rangle\bigr) = A(0+2)=2A.

Passo 6

Agora calcular as probabilidades usando |A|^2=\tfrac{1}{5}:
P(1)=|\langle1|\psi\rangle|^2 = |A|^2 = \frac{1}{5},
P(2)=|\langle2|\psi\rangle|^2 = |2A|^2 = 4|A|^2 = \frac{4}{5}.
Verificação rápida: P(1)+P(2)=\tfrac{1}{5}+\tfrac{4}{5}=1, como deve ser.

Resposta

(a) A=\dfrac{1}{\sqrt{5}}
(b) P(1)=\dfrac{1}{5}
P(2)=\dfrac{4}{5}

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