Use a lei de Coulomb para calcular o campo elétrico devido uma esfera de raio a, uniformemente carregada com densidade de carga \rho_{0}. Calcule o campo em regiões dentro e fora da esfera. Dica: adote um sistema de coordenadas adequado à simetria do problema.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo elétrico gerado por uma esfera de raio a com carga distribuída uniformemente no volume, de densidade \rho_{0}. Queremos o campo em duas regiões: dentro da esfera (para r<a) e fora da esfera (para r\ge a). As informações relevantes que temos são:
  • Esfera de raio a.
  • Densidade volumétrica uniforme \rho_{0} (carga total Q=\rho_{0}\tfrac{4}{3}\pi a^{3}).
  • Pedem o campo elétrico \mathbf{E}(\mathbf{r}) em função da distância radial r do centro, tanto para r<a quanto para r\ge a.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e estratégia. Por simetria esférica é natural usar coordenadas esféricas centradas no centro da esfera. Pelo enunciado e pela simetria:
  • O campo elétrico será radial e dependente apenas do rádio escalar r: \mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\,\hat{\mathbf{r}}.
  • Vamos usar a lei de Coulomb na forma do potencial elétrico escalar (a etapa de integrar 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| é mais simples do que integrar o vetor diretamente). A lei de Coulomb para o potencial é
\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')\,\mathrm{d}V'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|},
e depois obtém-se o campo por \mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla\Phi(\mathbf{r}). Aqui:
  • \mathbf{r} é o ponto campo (distância r ao centro);
  • \mathbf{r}' é o ponto de integração dentro da esfera (variável);
  • \mathrm{d}V' = r'^{2}\sin\theta'\,\mathrm{d}r'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi' em coordenadas esféricas.

Passo 3

Escrevendo o potencial em coordenadas esféricas, colocando o ponto \mathbf{r} sobre o eixo polar (isso é só para facilitar a conta, pela simetria o resultado vale para qualquer direção):
\Phi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\rho_{0}\int_{V_{\text{esfera}}}\frac{\mathrm{d}V'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\rho_{0}\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2\pi} \frac{r'^{2}\sin\theta'\,\mathrm{d}\varphi'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}r'}{\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos\theta'}}.
Integrando primeiro em \varphi' (não aparece no integrando), vem um fator 2\pi:
\Phi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\rho_{0}\,2\pi\int_{0}^{a}r'^{2}\,\mathrm{d}r'\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta'\,\mathrm{d}\theta'}{\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos\theta'}}.
Faço a substituição u=\cos\theta', portanto \mathrm{d}u=-\sin\theta'\mathrm{d}\theta' e os limites \theta'=0\to\pi viram u=1\to-1. Assim a integral angular fica
\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta'\,\mathrm{d}\theta'}{\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos\theta'}} =\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'u}}.

Passo 4

Calcule a integral em u. Seja D(u)=r^{2}+r'^{2}-2rr'u. Então \mathrm{d}D=-2rr'\,\mathrm{d}u. Substituindo:
\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{D(u)}} =\int_{D(1)}^{D(-1)}\frac{-\mathrm{d}D}{2rr'\sqrt{D}} =\frac{1}{rr'}\left[\sqrt{D}\right]_{D(1)}^{D(-1)}.
Agora D(1)=(r-r')^{2} e D(-1)=(r+r')^{2}. Portanto
\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'u}} =\frac{1}{rr'}\bigl((r+r')-|r-r'|\bigr).
Esta é uma identidade padrão e muito útil: ela reduz a integral angular a uma expressão em termos de r e r', com valor diferente dependendo do sinal de r-r'.

Passo 5

Agora use esse resultado no integral sobre r'. Temos
\Phi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\rho_{0}\,2\pi\int_{0}^{a} r'^{2}\,\frac{(r+r')-|r-r'|}{rr'}\,\mathrm{d}r'.
Simplificando o fator 2\pi/(4\pi\varepsilon_{0})=1/(2\varepsilon_{0}),
\Phi(r)=\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\int_{0}^{a} r'\,\frac{(r+r')-|r-r'|}{r}\,\mathrm{d}r'.
Agora é preciso tratar separadamente os casos r\ge a (ponto externo à esfera) e r<a (ponto interno), porque a expressão com |r-r'| muda.

Passo 6

Caso externo: r\ge a. Então para todo r' em 0\le r'\le a temos r\ge r', logo |r-r'|=r-r'. Assim
(r+r')-|r-r'|=(r+r')-(r-r')=2r'.
Substituindo na integral:
\Phi(r)=\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\int_{0}^{a} r'\,\frac{2r'}{r}\,\mathrm{d}r' =\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2}{r}\int_{0}^{a} r'^{2}\,\mathrm{d}r' =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r}\cdot\frac{a^{3}}{3}.
Como Q=\rho_{0}\tfrac{4}{3}\pi a^{3}, essa expressão pode ser reorganizada para a forma conhecida:
\Phi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}\qquad(r\ge a).
O campo é \mathbf{E}=-\nabla\Phi. Por simetria radial,
E(r)=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}.
Em termos de \rho_{0} e a podemos escrever
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}} =\frac{\rho_{0}\,\frac{4}{3}\pi a^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}} =\frac{\rho_{0}a^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},\qquad (r\ge a).

Passo 7

Caso interno: r<a. Agora ao integrar em r' é preciso dividir o intervalo de integração em dois: 0\le r'\le r (onde r'>? — aqui r' \le r, então |r-r'|=r-r') e r\le r'\le a (onde r'\ge r, então |r-r'|=r'-r). Usando a fórmula obtida:
  • Para 0\le r'\le r: (r+r')-|r-r'|=2r'.
  • Para r\le r'\le a: (r+r')-|r-r'|=2r.
Logo
\Phi(r)=\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\left[\int_{0}^{r} r'\frac{2r'}{r}\,\mathrm{d}r' + \int_{r}^{a} r'\frac{2r}{r}\,\mathrm{d}r'\right].
Calcule cada integral:
\int_{0}^{r} r'\frac{2r'}{r}\,\mathrm{d}r'=\frac{2}{r}\int_{0}^{r} r'^{2}\,\mathrm{d}r'=\frac{2}{r}\cdot\frac{r^{3}}{3}=\frac{2r^{2}}{3},
\int_{r}^{a} r'\frac{2r}{r}\,\mathrm{d}r'=2\int_{r}^{a} r'\,\mathrm{d}r'=2\cdot\frac{a^{2}-r^{2}}{2}=a^{2}-r^{2}.
Somando,
\Phi(r)=\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\left(\frac{2r^{2}}{3}+a^{2}-r^{2}\right) =\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\left(a^{2}-\frac{r^{2}}{3}\right).
Esta é a expressão do potencial no interior. Agora o campo radial é
E(r)=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r} =-\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\left(-\frac{2r}{3}\right) =\frac{\rho_{0}r}{3\varepsilon_{0}}.
Em forma vetorial:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho_{0}r}{3\varepsilon_{0}}\,\hat{\mathbf{r}},\qquad (r<a).
Se desejar escrever em termos da carga total Q, use Q=\rho_{0}\tfrac{4}{3}\pi a^{3} e então para r<a
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{r}{a^{3}}.
(A conta coincide com o resultado que obteríamos por Gauss, mas aqui foi feita diretamente a partir da lei de Coulomb.)

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho_{0}r}{3\varepsilon_{0}}\,\hat{\mathbf{r}}\quad\text{para } r<a\n
\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}=\frac{\rho_{0}a^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\quad\text{para } r\ge a

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