Use a lei de Coulomb para calcular o campo elétrico devido uma esfera de raio
, uniformemente carregada com densidade de carga
. Calcule o campo em regiões dentro e fora da esfera. Dica: adote um sistema de coordenadas adequado à simetria do problema.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o campo elétrico gerado por uma esfera de raio
com carga distribuída uniformemente no volume, de densidade
. Queremos o campo em duas regiões: dentro da esfera (para
) e fora da esfera (para
). As informações relevantes que temos são:
- Esfera de raio
. - Densidade volumétrica uniforme
(carga total ). - Pedem o campo elétrico
em função da distância radial do centro, tanto para quanto para .
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e estratégia. Por simetria esférica é natural usar coordenadas esféricas centradas no centro da esfera. Pelo enunciado e pela simetria:
- O campo elétrico será radial e dependente apenas do rádio escalar
: . - Vamos usar a lei de Coulomb na forma do potencial elétrico escalar (a etapa de integrar
é mais simples do que integrar o vetor diretamente). A lei de Coulomb para o potencial é
e depois obtém-se o campo por
. Aqui:
-
é o ponto campo (distância ao centro); -
é o ponto de integração dentro da esfera (variável); -
em coordenadas esféricas.
Passo 3
Escrevendo o potencial em coordenadas esféricas, colocando o ponto
sobre o eixo polar (isso é só para facilitar a conta, pela simetria o resultado vale para qualquer direção):
Integrando primeiro em
(não aparece no integrando), vem um fator
:
Faço a substituição
, portanto
e os limites
viram
. Assim a integral angular fica
Passo 4
Calcule a integral em
. Seja
. Então
. Substituindo:
Agora
e
. Portanto
Esta é uma identidade padrão e muito útil: ela reduz a integral angular a uma expressão em termos de
e
, com valor diferente dependendo do sinal de
.
Passo 5
Agora use esse resultado no integral sobre
. Temos
Simplificando o fator
,
Agora é preciso tratar separadamente os casos
(ponto externo à esfera) e
(ponto interno), porque a expressão com
muda.
Passo 6
Caso externo:
. Então para todo
em
temos
, logo
. Assim
Substituindo na integral:
Como
, essa expressão pode ser reorganizada para a forma conhecida:
O campo é
. Por simetria radial,
Em termos de
e
podemos escrever
Passo 7
Caso interno:
. Agora ao integrar em
é preciso dividir o intervalo de integração em dois:
(onde
— aqui
, então
) e
(onde
, então
). Usando a fórmula obtida:
- Para
: . - Para
: .
Logo
Calcule cada integral:
Somando,
Esta é a expressão do potencial no interior. Agora o campo radial é
Em forma vetorial:
Se desejar escrever em termos da carga total
, use
e então para
(A conta coincide com o resultado que obteríamos por Gauss, mas aqui foi feita diretamente a partir da lei de Coulomb.)