Mostre que para uma base ortonormal
onde
é o operador identidade.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (diretinho, sem rodeios):
- Dá uma base ortonormal de vetores de estado escrita como
. - Pede para mostrar que
onde
é o operador identidade (ou seja, o operador que deixa qualquer vetor inalterado).
Lista das informações relevantes que temos:
Lista das informações relevantes que temos:
- Os vetores
formam uma base (ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores). - A base é ortonormal, o que significa que, para quaisquer índices
,
onde
é o delta de Kronecker (
se
, e
caso contrário).
Passo 2
O que é
(explicação didática do que é “produto externo”):
- Para fixar a intuição:
é um operador (um “projetor”) que age em qualquer ket produzindo um múltiplo de . - Escrevendo a ação:
Aqui
é um número (o coeficiente da projeção de
em
), e o operador devolve esse número multiplicando
.
- Se
estiver normalizado, então é exatamente o projetor ortogonal sobre a direção .
Passo 3
Estratégia para provar a identidade (maneira mais direta e usual):
- A maneira mais direta é mostrar que o operador
age em qualquer vetor
da mesma forma que o operador identidade age, ou seja, mostrar que
para todo
. Se um operador age igual ao operador identidade em todo vetor do espaço, então esse operador é o operador identidade.
Passo 4
Expansão de um vetor qualquer na base ortonormal (fórmula e explicação):
- Como
é uma base, qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base. Os coeficientes são exatamente . Assim:
Explicação:
é o componente de
na direção
, então somando todos os componentes vezes os vetores da base reconstituímos
.
Passo 5
Aplicando
a
e usando a definição do produto externo:
- Começamos com
- Pela linearidade do somatório e do operador, podemos puxar a aplicação para dentro da soma:
- Compare com a expansão do passo anterior. Observa-se que a soma acima é exatamente a expansão de
:
Portanto, para qualquer
,
Passo 6
Conclusão lógica (por que isso prova a igualdade de operadores):
- Se um operador
satisfaz para todo vetor no espaço vetorial, então e o operador identidade têm a mesma ação sobre todo vetor — logo . - Assim chegamos à igualdade pedida:
Passo 7
Verificação alternativa por elementos de matriz (ajuda para fixar a ideia):
- Podemos calcular os elementos matriciais desse operador numa base
qualquer (por exemplo a mesma base ortonormal). Os elementos são
- Como a base é ortonormal,
e . Então cada termo da soma dá , e somando sobre obtemos
- Os elementos
são exatamente os elementos matriciais do operador identidade na base, então novamente
Passo 8
Comentário sobre projeção e ortonormalidade (intuição extra, sem formalismo pesado):
- Cada
projeta o vetor sobre a componente . Somando as projeções em todas as direções da base recupera-se o vetor por inteiro. É essa soma de projetores que é chamada de “resolução da identidade”. - Se a base não fosse ortonormal, a fórmula mudaria (apareceria a matriz de mudança de base); a ortonormalidade torna a expressão simples e com deltas.
Passo 9
Nota sobre bases infinitas (uma observação útil para provas e espaços com dimensão infinita):
- Se a base for infinita (por exemplo, contável ou contínua), a igualdade é entendida no sentido de que a soma (ou integral, no caso contínuo) converge adequadamente quando aplicada a vetores do espaço (ou seja, converge fortemente). Para a prática de exercícios e da física quântica, essa sutileza técnica costuma ser aceitável ao usar a regra
sem muito peso extra — afinal a demonstração por ação em um vetor se mantém válida quando a soma/integral converge para os coeficientes.