Mostre que para uma base ortonormal
\sum_{i}|i\rangle\langle i|=I
onde I é o operador identidade.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (diretinho, sem rodeios):
  • Dá uma base ortonormal de vetores de estado escrita como \{|i\rangle\}.
  • Pede para mostrar que
\sum_{i}|i\rangle\langle i|=I,
onde I é o operador identidade (ou seja, o operador que deixa qualquer vetor inalterado).
Lista das informações relevantes que temos:
  • Os vetores |i\rangle formam uma base (ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores).
  • A base é ortonormal, o que significa que, para quaisquer índices i,j,
\langle i|j\rangle=\delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, e 0 caso contrário).

Passo 2

O que é |i\rangle\langle i| (explicação didática do que é “produto externo”):
  • Para fixar a intuição: |i\rangle\langle i| é um operador (um “projetor”) que age em qualquer ket |\psi\rangle produzindo um múltiplo de |i\rangle.
  • Escrevendo a ação:
\big(|i\rangle\langle i|\big)\,|\psi\rangle = |i\rangle\big(\langle i|\psi\rangle\big).
Aqui \langle i|\psi\rangle é um número (o coeficiente da projeção de |\psi\rangle em |i\rangle), e o operador devolve esse número multiplicando |i\rangle.
  • Se |i\rangle estiver normalizado, então |i\rangle\langle i| é exatamente o projetor ortogonal sobre a direção |i\rangle.

Passo 3

Estratégia para provar a identidade (maneira mais direta e usual):
  • A maneira mais direta é mostrar que o operador
S \coloneqq \sum_i |i\rangle\langle i|
age em qualquer vetor |\psi\rangle da mesma forma que o operador identidade age, ou seja, mostrar que S|\psi\rangle = |\psi\rangle para todo |\psi\rangle. Se um operador age igual ao operador identidade em todo vetor do espaço, então esse operador é o operador identidade.

Passo 4

Expansão de um vetor qualquer na base ortonormal (fórmula e explicação):
  • Como \{|i\rangle\} é uma base, qualquer vetor |\psi\rangle pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base. Os coeficientes são exatamente \langle i|\psi\rangle. Assim:
|\psi\rangle = \sum_j |j\rangle\langle j|\psi\rangle.
Explicação: \langle j|\psi\rangle é o componente de |\psi\rangle na direção |j\rangle, então somando todos os componentes vezes os vetores da base reconstituímos |\psi\rangle.

Passo 5

Aplicando S a |\psi\rangle e usando a definição do produto externo:
  • Começamos com
S|\psi\rangle = \left(\sum_i |i\rangle\langle i|\right)|\psi\rangle.
  • Pela linearidade do somatório e do operador, podemos puxar a aplicação para dentro da soma:
S|\psi\rangle = \sum_i |i\rangle\langle i|\psi\rangle.
  • Compare com a expansão do passo anterior. Observa-se que a soma acima é exatamente a expansão de |\psi\rangle:
\sum_i |i\rangle\langle i|\psi\rangle = |\psi\rangle.
Portanto, para qualquer |\psi\rangle,
S|\psi\rangle = |\psi\rangle.

Passo 6

Conclusão lógica (por que isso prova a igualdade de operadores):
  • Se um operador S satisfaz S|\psi\rangle=|\psi\rangle para todo vetor |\psi\rangle no espaço vetorial, então S e o operador identidade I têm a mesma ação sobre todo vetor — logo S=I.
  • Assim chegamos à igualdade pedida:
\sum_i |i\rangle\langle i| = I.

Passo 7

Verificação alternativa por elementos de matriz (ajuda para fixar a ideia):
  • Podemos calcular os elementos matriciais desse operador numa base \{|m\rangle\} qualquer (por exemplo a mesma base ortonormal). Os elementos são
\langle m|\left(\sum_i |i\rangle\langle i|\right)|n\rangle = \sum_i \langle m|i\rangle\langle i|n\rangle.
  • Como a base é ortonormal, \langle m|i\rangle=\delta_{mi} e \langle i|n\rangle=\delta_{in}. Então cada termo da soma dá \delta_{mi}\delta_{in}, e somando sobre i obtemos
\sum_i \delta_{mi}\delta_{in} = \delta_{mn}.
  • Os elementos \delta_{mn} são exatamente os elementos matriciais do operador identidade na base, então novamente
\sum_i |i\rangle\langle i| = I.

Passo 8

Comentário sobre projeção e ortonormalidade (intuição extra, sem formalismo pesado):
  • Cada |i\rangle\langle i| projeta o vetor sobre a componente i. Somando as projeções em todas as direções da base recupera-se o vetor por inteiro. É essa soma de projetores que é chamada de “resolução da identidade”.
  • Se a base não fosse ortonormal, a fórmula mudaria (apareceria a matriz de mudança de base); a ortonormalidade torna a expressão simples e com deltas.

Passo 9

Nota sobre bases infinitas (uma observação útil para provas e espaços com dimensão infinita):
  • Se a base for infinita (por exemplo, contável ou contínua), a igualdade é entendida no sentido de que a soma (ou integral, no caso contínuo) converge adequadamente quando aplicada a vetores do espaço (ou seja, converge fortemente). Para a prática de exercícios e da física quântica, essa sutileza técnica costuma ser aceitável ao usar a regra
\sum_i |i\rangle\langle i|=I.
sem muito peso extra — afinal a demonstração por ação em um vetor se mantém válida quando a soma/integral converge para os coeficientes.

Resposta

\displaystyle \sum_{i}|i\rangle\langle i|=I

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