Um sistema possui base ortonormal
e estado
(a) Verifique se o estado está normalizado.
(b) Caso necessário, normalize-o.
(b) Caso necessário, normalize-o.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma base ortonormal
. - Um estado
O que é pedido:
(a) Verificar se o estado está normalizado.
(b) Caso necessário, normalizá‑lo.
(a) Verificar se o estado está normalizado.
(b) Caso necessário, normalizá‑lo.
Passo 2
O que significa “estar normalizado”? Vou explicar devagarinho. Para um vetor de estado
a norma ao quadrado é o produto interno
. O estado está normalizado quando
Se tivermos uma expansão numa base ortonormal
onde
são os coeficientes (podem ser complexos), então pelo uso da ortonormalidade (ou seja
, onde
é o delta de Kronecker) segue-se que
Explico a conta curta: escrevendo
e multiplicando por
dá
. Pronto — por isso basta somar os quadrados dos módulos dos coeficientes.
Passo 3
Identifico os coeficientes do enunciado:
Nota: todos são reais aqui, então
.
Passo 4
Calculo os quadrados dos coeficientes (passo a passo):
Passo 5
Somando para obter
:
Agora somando os termos:
Logo
. Conclusão: o estado já está normalizado — não é necessário modificar nada.
Passo 6
Para deixar claro o procedimento caso não estivesse normalizado: a norma seria
e o estado normalizado seria
No nosso caso
, portanto
Ou seja, o estado normalizado é exatamente o mesmo que foi dado.
Resposta
(a) Sim, o estado está normalizado.
(b) Não é necessário normalizar; o estado normalizado é
(b) Não é necessário normalizar; o estado normalizado é