Um sistema possui base ortonormal
\left|a_{1}\right\rangle,\left|a_{2}\right\rangle,\left|a_{3}\right\rangle
e estado
|\psi\rangle=\frac{1}{2}\left|a_{1}\right\rangle+\frac{1}{2}\left|a_{2}\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|a_{3}\right\rangle
(a) Verifique se o estado está normalizado.
(b) Caso necessário, normalize-o.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma base ortonormal \left|a_{1}\right\rangle,\left|a_{2}\right\rangle,\left|a_{3}\right\rangle.
  • Um estado
|\psi\rangle=\frac{1}{2}\left|a_{1}\right\rangle+\frac{1}{2}\left|a_{2}\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|a_{3}\right\rangle.
O que é pedido:
(a) Verificar se o estado está normalizado.
(b) Caso necessário, normalizá‑lo.

Passo 2

O que significa “estar normalizado”? Vou explicar devagarinho. Para um vetor de estado |\psi\rangle a norma ao quadrado é o produto interno \langle\psi|\psi\rangle. O estado está normalizado quando
\langle\psi|\psi\rangle=1.
Se tivermos uma expansão numa base ortonormal \{|a_i\rangle\}
|\psi\rangle=\sum_{i} c_i |a_i\rangle,
onde c_i são os coeficientes (podem ser complexos), então pelo uso da ortonormalidade (ou seja \langle a_i|a_j\rangle=\delta_{ij}, onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker) segue-se que
\langle\psi|\psi\rangle=\sum_{i} |c_i|^2.
Explico a conta curta: escrevendo \langle\psi|=\sum_i c_i^*\langle a_i| e multiplicando por |\psi\rangle \sum_{i,j} c_i^* c_j \langle a_i|a_j\rangle=\sum_{i,j} c_i^* c_j \delta_{ij}=\sum_i |c_i|^2. Pronto — por isso basta somar os quadrados dos módulos dos coeficientes.

Passo 3

Identifico os coeficientes do enunciado:
c_1=\frac{1}{2},\qquad c_2=\frac{1}{2},\qquad c_3=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Nota: todos são reais aqui, então |c_i|^2=c_i^2.

Passo 4

Calculo os quadrados dos coeficientes (passo a passo):
|c_1|^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},
|c_2|^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},
|c_3|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}.

Passo 5

Somando para obter \langle\psi|\psi\rangle:
\langle\psi|\psi\rangle=|c_1|^2+|c_2|^2+|c_3|^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}.
Agora somando os termos:
\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},\qquad \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.
Logo \langle\psi|\psi\rangle=1. Conclusão: o estado já está normalizado — não é necessário modificar nada.

Passo 6

Para deixar claro o procedimento caso não estivesse normalizado: a norma seria
\|\psi\|=\sqrt{\langle\psi|\psi\rangle},
e o estado normalizado seria
|\psi_{\text{norm}}\rangle=\frac{1}{\|\psi\|}\,|\psi\rangle.
No nosso caso \|\psi\|=\sqrt{1}=1, portanto
|\psi_{\text{norm}}\rangle=1\cdot|\psi\rangle=|\psi\rangle.
Ou seja, o estado normalizado é exatamente o mesmo que foi dado.

Resposta

(a) Sim, o estado está normalizado.
(b) Não é necessário normalizar; o estado normalizado é
|\psi\rangle=\frac{1}{2}\left|a_{1}\right\rangle+\frac{1}{2}\left|a_{2}\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|a_{3}\right\rangle.

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