Dada uma matriz
de ordem
mostre que a matriz
é uma matriz simétrica de ordem
. A matriz
é simétrica? Qual sua ordem?
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
. As perguntas são:
- Mostrar que a matriz
é uma matriz simétrica e indicar sua ordem. - Verificar se a matriz
é simétrica e indicar sua ordem.
Informações relevantes dadas:
-
tem linhas e colunas, ou seja, é . -
denota a transposta de .
Passo 2
Lembrar definições e propriedades básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- A transposta de
, escrita , é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Se com índices e , então com índices e . - Uma matriz
é simétrica se ela é quadrada e satisfaça
- Propriedade do transposto do produto: para matrizes
e com produto bem definido vale
Vou usar essas definições e propriedades para mostrar simetria e para determinar ordens.
Passo 3
Determinar as ordens de
e
e, a partir disso, a ordem de
:
-
é . - Logo
é . - O produto
é então o produto de uma por uma , que é bem definido e resulta numa matriz de ordem (ou seja, quadrada de dimensão ).
Passo 4
Mostrar que
é simétrica usando a propriedade do transposto do produto:
Aplicando a propriedade com
e
, obtemos
Aplicando a propriedade
Mas por definição da transposta dupla temos
. Portanto
Isso mostra exatamente que
é igual à sua transposta, ou seja,
é simétrica.
Passo 5
Resumo do raciocínio até aqui (como lembrar na prova): porque
é
e
é
, o produto
é uma matriz quadrada
. Usando
e
conclui-se que
, isto é, simétrica.
Passo 6
Agora analisar
: ordens e simetria.
-
é e é . - O produto
é, portanto, bem definido e resulta numa matriz de ordem (quadrada de dimensão ).
Passo 7
Mostrar que
também é simétrica usando a mesma propriedade:
Aplicando com
e
, obtemos
Aplicando
Acompanhe com cuidado: usar corretamente as transposições dá
Isso parece diferente, mas vamos reescrever aplicando a propriedade diretamente de forma clara:
Percebe-se que essa escrita está trocando a ordem. O caminho correto e mais direto é aplicar a propriedade com
e
como antes, mas para
fazemos:
Para evitar confusão vamos reavaliar com a forma padrão: tome
e
. Então
Mas isto não é a mesma matriz
em geral; então precisamos corrigir: o modo correto é usar a propriedade diretamente escrevendo
Isto mostra que a transposta de
é
. Em geral
. Contudo, isso não prova simetria. Então faremos a demonstração correta elemento a elemento, que é mais clara e evita confusão.
Passo 8
Demonstração elemento a elemento (didática e sem armadilhas):
- Denote
com e . - O elemento
-ésimo de é
Observe que trocando
por
obtemos
e como a soma de produtos é comutativa termo a termo,
para todo
. Isso mostra que a matriz é simétrica entrada a entrada, consistente com
.
- Agora o elemento
-ésimo de (lembre que índices vão de a ) é
Trocar
por
dá
e novamente por comutatividade
para todo
. Logo
também é simétrica elemento a elemento.
Passo 9
Interpretação geométrica rápida (útil para prova e memória): as entradas de
são produtos internos entre linhas de
:
Assim a matriz é uma matriz de Gram das linhas e é simétrica. Analogamente
é a matriz de Gram das colunas de
, com entradas
e portanto também simétrica.