Dada uma matriz A de ordem m \times n mostre que a matriz A A^{T} é uma matriz simétrica de ordem m \times m. A matriz A^{T} A é simétrica? Qual sua ordem?

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem m\times n. As perguntas são:
  • Mostrar que a matriz A A^{T} é uma matriz simétrica e indicar sua ordem.
  • Verificar se a matriz A^{T}A é simétrica e indicar sua ordem.
Informações relevantes dadas:
  • A tem m linhas e n colunas, ou seja, A é m\times n.
  • A^{T} denota a transposta de A.

Passo 2

Lembrar definições e propriedades básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A transposta de A, escrita A^{T}, é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Se A=(a_{ij}) com índices i=1,\dots,m e j=1,\dots,n, então A^{T}=(a_{ji}) com índices j=1,\dots,n e i=1,\dots,m.
  • Uma matriz M é simétrica se ela é quadrada e satisfaça
M^{T}=M.
  • Propriedade do transposto do produto: para matrizes X e Y com produto bem definido vale
(XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
Vou usar essas definições e propriedades para mostrar simetria e para determinar ordens.

Passo 3

Determinar as ordens de A e A^{T} e, a partir disso, a ordem de A A^{T}:
  • A é m\times n.
  • Logo A^{T} é n\times m.
  • O produto A A^{T} é então o produto de uma m\times n por uma n\times m, que é bem definido e resulta numa matriz de ordem m\times m (ou seja, quadrada de dimensão m).

Passo 4

Mostrar que A A^{T} é simétrica usando a propriedade do transposto do produto:
Aplicando a propriedade (XY)^{T}=Y^{T}X^{T} com X=A e Y=A^{T}, obtemos
( A A^{T} )^{T} = (A^{T})^{T} A^{T}.
Mas por definição da transposta dupla temos (A^{T})^{T}=A. Portanto
( A A^{T} )^{T} = A A^{T}.
Isso mostra exatamente que A A^{T} é igual à sua transposta, ou seja, A A^{T} é simétrica.

Passo 5

Resumo do raciocínio até aqui (como lembrar na prova): porque A é m\times n e A^{T} é n\times m, o produto A A^{T} é uma matriz quadrada m\times m. Usando (XY)^{T}=Y^{T}X^{T} e (A^{T})^{T}=A conclui-se que (A A^{T})^{T}=A A^{T}, isto é, simétrica.

Passo 6

Agora analisar A^{T}A: ordens e simetria.
  • A^{T} é n\times m e A é m\times n.
  • O produto A^{T}A é, portanto, bem definido e resulta numa matriz de ordem n\times n (quadrada de dimensão n).

Passo 7

Mostrar que A^{T}A também é simétrica usando a mesma propriedade:
Aplicando (XY)^{T}=Y^{T}X^{T} com X=A^{T} e Y=A, obtemos
( A^{T}A )^{T} = A^{T}{}^{T} (A^{T}) = A (A^{T}) = A^{T}A?
Acompanhe com cuidado: usar corretamente as transposições dá
( A^{T}A )^{T} = A^{T\,T} A^{T} = A A^{T}.
Isso parece diferente, mas vamos reescrever aplicando a propriedade diretamente de forma clara:
( A^{T}A )^{T} = A^{T\,T} (A^{T}) = A (A^{T}).
Percebe-se que essa escrita está trocando a ordem. O caminho correto e mais direto é aplicar a propriedade com X=A e Y=A^{T} como antes, mas para A^{T}A fazemos:
( A^{T}A )^{T} = A^{T}{}^{T} (A^{T}) = A (A^{T}).
Para evitar confusão vamos reavaliar com a forma padrão: tome X=A^{T} e Y=A. Então
( A^{T}A )^{T} = A^{T\,T} A^{T} = A A^{T}.
Mas isto não é a mesma matriz A^{T}A em geral; então precisamos corrigir: o modo correto é usar a propriedade diretamente escrevendo
( A^{T}A )^{T} = A^{T}{}^{T} (A^{T}) = A (A^{T}).
Isto mostra que a transposta de A^{T}A é A A^{T}. Em geral A A^{T}\neq A^{T}A. Contudo, isso não prova simetria. Então faremos a demonstração correta elemento a elemento, que é mais clara e evita confusão.

Passo 8

Demonstração elemento a elemento (didática e sem armadilhas):
  • Denote A=(a_{ij}) com i=1,\dots,m e j=1,\dots,n.
  • O elemento (i,k)-ésimo de A A^{T} é
( A A^{T} )_{ik}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,a_{kj}.
Observe que trocando i por k obtemos
( A A^{T} )_{ki}=\sum_{j=1}^{n} a_{kj}\,a_{ij},
e como a soma de produtos é comutativa termo a termo, ( A A^{T} )_{ik}=( A A^{T} )_{ki} para todo i,k. Isso mostra que a matriz é simétrica entrada a entrada, consistente com (A A^{T})^{T}=A A^{T}.
  • Agora o elemento (p,q)-ésimo de A^{T}A (lembre que índices vão de 1 a n) é
( A^{T}A )_{pq}=\sum_{r=1}^{m} a_{rp}\,a_{rq}.
Trocar p por q
( A^{T}A )_{qp}=\sum_{r=1}^{m} a_{rq}\,a_{rp},
e novamente por comutatividade ( A^{T}A )_{pq}=( A^{T}A )_{qp} para todo p,q. Logo A^{T}A também é simétrica elemento a elemento.

Passo 9

Interpretação geométrica rápida (útil para prova e memória): as entradas de A A^{T} são produtos internos entre linhas de A:
( A A^{T} )_{ik}=\langle \text{linha }i\text{ de }A,\\ \text{linha }k\text{ de }A\rangle.
Assim a matriz é uma matriz de Gram das linhas e é simétrica. Analogamente A^{T}A é a matriz de Gram das colunas de A, com entradas
( A^{T}A )_{pq}=\langle \text{coluna }p\text{ de }A,\\ \text{coluna }q\text{ de }A\rangle,
e portanto também simétrica.

Resposta

A A^{T} é simétrica e tem ordem m\times m.
A^{T}A é simétrica e tem ordem n\times n.

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