Considere as bases B=1,1+t, 1+t^2 e C=1, t, t^2 de P2(R).
(a) Encontre as matrizes mudanças da base B para a base C, isto é [M]C^B e da base C para a base B, isto é [M]B^C.
(b) S e[v]B=[c1 -4 6] encontre [v]C.
(c) S e[v]C=[c8 -1 3] encontre [v]B

Passo 1

O enunciado pede mudança de base no espaço P2(R). Precisamos:
– em (a) achar a matriz que leva coordenadas em B para coordenadas em C, isto é [!M!]C^B, e sua inversa [!M!]B^C;
– em (b) usar [!M!]C^B para obter [v]C a partir de [v]B;
– em (c) usar [!M!]B^C para obter [v]B a partir de [v]C.

Passo 2

Para montar [!M!]C^B, escrevemos cada vetor de B=1,;1+t,;1+t^2 em coordenadas da base C=1,t,t^2.
O vetor 1 em C é
1 = 1cdot1 + 0cdot t + 0cdot t^2 longrightarrow 100
O vetor 1+t em C é
1+t = 1cdot1 + 1cdot t + 0cdot t^2 longrightarrow 110
O vetor 1+t^2 em C é
1+t^2 = 1cdot1 + 0cdot t + 1cdot t^2 longrightarrow 101
Portanto as colunas de [!M!]C^B são esses vetores, logo
[!M!]C^B = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Para achar [!M!]B^C=[!M!]C^B^-1, invertemos a matriz triangular acima. Seja x=(x1,x2,x3)^T e b=(b1,b2,b3)^T tal que
1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 x =b
Da terceira linha vem x3=b3, da segunda x2=b2 e da primeira x1=b1-b2-b3. Logo
[!M!]B^C = 1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Para (b), dado [v]B=l(1,,-4,,6r)^T, obtemos
[v]C = [!M!]C^B,[v]B = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1-46 = 1-4+6 -4 6 = 3-46

Passo 5

Para (c), dado [v]C=l(8,,-1,,3r)^T, obtemos
[v]B = [!M!]B^C,[v]C = 1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 8-13 = 8+1-3 -1 3 = 6-13

Resposta

(a)
[!M!]C^B = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , [!M!]B^C = 1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
(b) [v]C=l(3,,-4,,6r)^T
(c) [v]B=l(6,,-1,,3r)^T

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