Seja V um espaço euclidiano. Prove que:
d(u, v) >= 0, forall u, v in V

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um espaço euclidiano V, a distância definida por
d(u,v) = |u - v|
é sempre não-negativa, ou seja,
d(u,v) >= 0forall,u,vin V
O conteúdo usado será a definição de produto interno e de norma em espaços euclidianos, bem como a positividade do produto interno.

Passo 2

Por definição de espaço euclidiano, existe um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= em V que satisfaz a propriedade de positividade: para todo win V,
lang<= w, wrang<= >= 0,
com igualdade se e somente se w=0. A norma associada a esse produto interno é
|w| = raizlang<= w, wrang<=,
Como a raiz quadrada de um número real não-negativo é não-negativa, concluímos que
|w|>= 0forall,win V

Passo 3

A distância entre dois vetores u e v é definida por
d(u,v)=|u-v|
Pelo resultado do passo anterior,
|,u-v|>= 0
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d(u,v)>= 0forall,u,vin V,
como queríamos demonstrar.

Resposta

d(u,v)>= 0forall,u,vin V

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