Seja
um espaço euclidiano. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em um espaço euclidiano
, a distância definida por
é sempre não-negativa, ou seja,
O conteúdo usado será a definição de produto interno e de norma em espaços euclidianos, bem como a positividade do produto interno.
Passo 2
Por definição de espaço euclidiano, existe um produto interno
em
que satisfaz a propriedade de positividade: para todo
,
com igualdade se e somente se
. A norma associada a esse produto interno é
Como a raiz quadrada de um número real não-negativo é não-negativa, concluímos que
Passo 3
A distância entre dois vetores
e
é definida por
Pelo resultado do passo anterior,
Logo
como queríamos demonstrar.