Seja
um espaço euclidiano. Prove que:
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço euclidiano, ou seja, é um espaço vetorial sobre
equipado com um produto interno
que satisfaz, entre outras, as seguintes propriedades de linearidade no segundo fator:
- aditividade: para todo
- homogeneidade: para todo
e todo
Nossa meta é mostrar que, usando essas duas propriedades, vale
Passo 2
Observe que a diferença de vetores pode ser vista como soma com escalar
, ou seja,
Então podemos aplicar a propriedade de aditividade com
e
.
Passo 3
Pela aditividade no segundo fator,
Passo 4
Agora usamos homogeneidade com
:
Substituindo em
obtemos