Seja V um espaço euclidiano. Prove que:
lang<= u, v-wrang<==lang<= u, vrang<=-lang<= u, wrang<=, forall u, v, w in V

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço euclidiano, ou seja, é um espaço vetorial sobre R equipado com um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= que satisfaz, entre outras, as seguintes propriedades de linearidade no segundo fator:
  1. aditividade: para todo u,v,win V
lang<= u,,v+wrang<= ;=;lang<= u,,vrang<= ;+;lang<= u,,wrang<=;
  1. homogeneidade: para todo u,vin V e todo alphainR
lang<= u,,alpha vrang<= ;=;alpha,lang<= u,,vrang<=
Nossa meta é mostrar que, usando essas duas propriedades, vale
lang<= u,,v - wrang<= ;=;lang<= u,,vrang<= ;-;lang<= u,,wrang<=

Passo 2

Observe que a diferença de vetores pode ser vista como soma com escalar -1, ou seja,
v - w ;=; v + (-1),w
Então podemos aplicar a propriedade de aditividade com v e (-1)w.

Passo 3

Pela aditividade no segundo fator,
lang<= u,,v + (-1),wrang<= ;=; lang<= u,,vrang<= ;+;lang<= u,,(-1),wrang<=

Passo 4

Agora usamos homogeneidade com alpha=-1:
lang<= u,,(-1),wrang<= ;=;-1;lang<= u,,wrang<= ;=;-,lang<= u,,wrang<=
Substituindo em lang<= u,,v + (-1),wrang<= obtemos
lang<= u,,v - wrang<= =lang<= u,,vrang<= + l(-lang<= u,,wrang<=r) =lang<= u,,vrang<= - lang<= u,,wrang<=

Resposta

boxedlang<= u,,v-wrang<= ;=;lang<= u,,vrang<= ;-;lang<= u,,wrang<=, forall,u,v,win V

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