Considere as bases \alpha, \beta e \gamma de P_{2}(\mathbb{R}), \mathbb{R}^{2} e M_{2}(\mathbb{R}), respectivamente, onde
\alpha=\left\{t^{2}, t+1,3\right\}, \quad \beta=\{(1,0),(-1,-1)\} \text { e } \gamma \text { é a base canônica. }éô
Sejam f: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) e g: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2} transformações lineares tais que
[f]_{\alpha}^{\gamma}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 / 3 & 1 / 3 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad[g]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -3 \\\\ 0 & -2 & -3 \end{array}\right)
Determinar:
a) [g \circ f]_{\beta}^{\gamma}
b) (g \circ f)\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right)
c) g\left(x t^{2}+y t+z\right)
d) f\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right)
e) (g \circ f)\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares \displaystyle f\colon M_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}) e \displaystyle g\colon P_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{2},
com as bases \gamma=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} (canônica de M_{2}), \alpha=\{t^{2},\,t+1,\,3\} (de P_{2}) e \beta=\{(1,0),\,(-1,-1)\} (de \mathbb{R}^{2}).
As matrizes são
[f]_{\alpha}^{\gamma} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -\tfrac13 & \tfrac13 \end{pmatrix}, \quad [g]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3\\\\ 0 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Precisamos achar:
a) [g\circ f]_{\beta}^{\gamma},
b) (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\\ 2&1\end{smallmatrix}\bigr),
c) g\bigl(x\,t^{2}+y\,t+z\bigr),
d) f\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr),
e) (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr).

Passo 2

Para a composição usamos
[g\circ f]_{\beta}^{\gamma} = [g]_{\beta}^{\alpha}\;\cdot\;[f]_{\alpha}^{\gamma} = \begin{pmatrix}1&-2&-3\\\ 0&-2&-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&-\tfrac13&\tfrac13 \end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação obtemos a matriz 2\times4:
[g\circ f]_{\beta}^{\gamma} = \begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\\\ 0&0&-1&-1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\\ 2&1\end{smallmatrix}\bigr),
escrevemos \begin{pmatrix}1&0\\\ 2&1\end{pmatrix} em coordenadas na base \gamma como \,(1,0,2,1)^{T}.
Multiplicamos pela matriz de composição:
\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\\\ 0&0&-1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ -3\end{pmatrix}_{\beta}.
Esse é o vetor em coordenadas na base \beta. Voltando para a base canônica de \mathbb{R}^2:
-2\,(1,0)+(-3)\,(-1,-1) = (-2,0)+(3,3) = (1,3).

Passo 4

Para g\bigl(x\,t^{2}+y\,t+z\bigr) primeiro achamos as coordenadas desse polinômio na base \alpha.
Queremos a,b,c tais que
x\,t^{2}+y\,t+z = a\,t^{2}+b\,(t+1)+c\cdot3.
Comparando coeficientes:
a=x,\quad b=y,\quad b+3c=z\\ \Rightarrow\\ c=\frac{z-y}{3}.
Logo [p]_{\alpha}=(x,\;y,\;(z-y)/3)^{T}.
Agora aplicamos [g]_{\beta}^{\alpha}:
\begin{pmatrix}1&-2&-3\\\ 0&-2&-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\\tfrac{z-y}3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-2y-3\frac{z-y}3\\\\ -2y-3\frac{z-y}3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y-z\\\\ -\,y-z \end{pmatrix}_{\beta}.
Convertendo para a base canônica:
(x-y-z)(1,0)+(-y-z)(-1,-1) =(x,\,y+z).

Passo 5

Para \displaystyle f\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr)
usamos as coordenadas (x,y,z,w)^{T} em \gamma e multiplicamos por [f]_{\alpha}^{\gamma}:
\begin{pmatrix} 1&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&-\tfrac13&\tfrac13 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y\\\ z\\\ \tfrac{w-z}3 \end{pmatrix}_{\alpha}.
Isso significa
f\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr) =(x+y)\,t^{2}+z\,(t+1)+\frac{w-z}3\cdot3 =(x+y)\,t^{2}+z\,t+w.

Passo 6

Finalmente, (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr) é
g\bigl((x+y)t^{2}+z\,t+w\bigr),
e pelo resultado do Passo 4, trocando (x,y,z) por (x+y,z,w), vem
\bigl(x+y,\;z+w\bigr).

Resposta

a) [g\circ f]_{\beta}^{\gamma}=\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\ 0&0&-1&-1\end{pmatrix}.
b) (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\\ 2&1\end{smallmatrix}\bigr)=(1,3).
c) g\bigl(x\,t^{2}+y\,t+z\bigr)=(x,\;y+z).
d) f\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr)=(x+y)\,t^{2}+z\,t+w.
e) (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr)=(x+y,\;z+w).

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