Determinar:
a) [g \circ f]_{\beta}^{\gamma}
b) (g \circ f)\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right)
c) g\left(x t^{2}+y t+z\right)
d) f\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right)
e) (g \circ f)\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares \displaystyle f\colon M_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}) e \displaystyle g\colon P_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{2},
com as bases \gamma=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} (canônica de M_{2}), \alpha=\{t^{2},\,t+1,\,3\} (de P_{2}) e \beta=\{(1,0),\,(-1,-1)\} (de \mathbb{R}^{2}).
As matrizes são
Para calcular (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\\ 2&1\end{smallmatrix}\bigr),
escrevemos \begin{pmatrix}1&0\\\ 2&1\end{pmatrix} em coordenadas na base \gamma como \,(1,0,2,1)^{T}.
Multiplicamos pela matriz de composição:
Para \displaystyle f\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr)
usamos as coordenadas (x,y,z,w)^{T} em \gamma e multiplicamos por [f]_{\alpha}^{\gamma}:
Finalmente, (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr) é
g\bigl((x+y)t^{2}+z\,t+w\bigr),
e pelo resultado do Passo 4, trocando (x,y,z) por (x+y,z,w), vem
\bigl(x+y,\;z+w\bigr).
Resposta
a) [g\circ f]_{\beta}^{\gamma}=\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\ 0&0&-1&-1\end{pmatrix}.
b) (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\\ 2&1\end{smallmatrix}\bigr)=(1,3).
c) g\bigl(x\,t^{2}+y\,t+z\bigr)=(x,\;y+z).
d) f\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr)=(x+y)\,t^{2}+z\,t+w.
e) (g\circ f)\bigl(\begin{smallmatrix}x&y\z&w\end{smallmatrix}\bigr)=(x+y,\;z+w).